Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Según los datos del Instituto Nacional de Estadística (INE), el 1 de enero de 2023 en las Islas Baleares había 1.210.000 habitantes en total. Además, el número de viviendas, en función del número de habitantes que convivían en ellas, era el siguiente:

Número de convivientes	1	2	3	4 o más Número de viviendas	118.000	124.000	93.000	119.000

a) ¿Cuál es el número medio de convivientes por vivienda? [2 puntos]

b) ¿Cuántos habitantes pertenecen a una vivienda en la que hay 4 o más convivientes? ¿Cuál es el número medio de convivientes en las viviendas en las que hay 4 o más convivientes? [2 puntos]

c) Escogiendo un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que viva en una vivienda unipersonal? Justifique su respuesta. [3 puntos]

d) Escogiendo, de manera independiente, dos habitantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de ellos viva en una vivienda unipersonal? Justifique su respuesta. [3 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es el número medio de convivientes por vivienda? [2 puntos]}$

Empezamos completando la tabla con el total de viviendas, que es lo primero que hace falta.

$\text{Convivientes}$	1	2	3	4 o más	$\text{Total}$ $\text{Viviendas}$	118 000	124 000	93 000	119 000	454 000

$118\,000+124\,000+93\,000+119\,000=454\,000 \ \text{viviendas}$

El número medio de convivientes por vivienda es el total de habitantes repartido entre el total de viviendas. El enunciado nos da el total de habitantes, 1 210 000, de manera que no hace falta usar la última columna, que precisamente es la que no dice cuántos convivientes hay en cada vivienda.

$\overline{x}=\dfrac{\text{habitantes}}{\text{viviendas}}=\dfrac{1\,210\,000}{454\,000}=\dfrac{1210}{454}=\dfrac{605}{227}$

$\overline{x}\approx 2{,}67 \ \text{convivientes por vivienda}$

El número medio de convivientes por vivienda es de $605/227\approx 2{,}67$ personas.

$\textbf{b) ¿Cuántos habitantes pertenecen a una vivienda en la que hay 4 o más convivientes? ¿Cuál es el número medio de convivientes en las viviendas en las que hay 4 o más convivientes? [2 puntos]}$

En las tres primeras columnas sí se sabe cuánta gente vive en cada vivienda, así que se puede contar exactamente cuántos habitantes reúnen.

$1\cdot 118\,000=118\,000$

$2\cdot 124\,000=248\,000$

$3\cdot 93\,000=279\,000$

$118\,000+248\,000+279\,000=645\,000 \ \text{habitantes}$

Los habitantes de las viviendas de 4 o más convivientes son todos los demás.

$1\,210\,000-645\,000=565\,000 \ \text{habitantes}$

Y su número medio de convivientes se obtiene repartiendo esos habitantes entre las 119 000 viviendas del último grupo.

$\overline{x}_{4+}=\dfrac{565\,000}{119\,000}=\dfrac{565}{119}\approx 4{,}75$

En las viviendas de 4 o más convivientes viven 565 000 habitantes, y el número medio de convivientes en ellas es de $565/119\approx 4{,}75$ personas.

$\textbf{c) Escogiendo un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que viva en una vivienda unipersonal? Justifique su respuesta. [3 puntos]}$

Aquí conviene tener cuidado con qué se está escogiendo: el enunciado dice que se escoge un habitante, no una vivienda. Todos los habitantes son equiprobables, así que se aplica la regla de Laplace tomando como casos posibles los 1 210 000 habitantes.

Los casos favorables son los habitantes que viven en una vivienda unipersonal. En cada una de esas viviendas vive exactamente una persona, luego hay tantos habitantes como viviendas de ese tipo.

$n(U)=1\cdot 118\,000=118\,000 \ \text{habitantes}$

$P(U)=\dfrac{118\,000}{1\,210\,000}=\dfrac{118}{1210}=\dfrac{59}{605}\approx 0{,}0975$

La probabilidad de que un habitante escogido al azar viva en una vivienda unipersonal es de $59/605\approx 0{,}0975$, es decir, un 9,75 %. Nótese que no es lo mismo que la proporción de viviendas unipersonales, que sería $118\,000/454\,000\approx 0{,}26$: al escoger personas y no viviendas, las viviendas con mucha gente pesan más.

$\textbf{d) Escogiendo, de manera independiente, dos habitantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de ellos viva en una vivienda unipersonal? Justifique su respuesta. [3 puntos]}$

Como las dos elecciones son independientes, en la segunda las probabilidades son las mismas que en la primera. Hacemos un diagrama de árbol.

$P(U)\approx 0{,}0975 \Rightarrow P(\overline{U})=1-0{,}0975\approx 0{,}9025$



«Alguno de ellos» recoge tres de las cuatro ramas, de modo que resulta más corto pasar por el suceso contrario, que es «ninguno de los dos vive en una vivienda unipersonal».

$P(\text{ninguno})=P(\overline{U})\cdot P(\overline{U})=\left(\dfrac{546}{605}\right)^2=\dfrac{298\,116}{366\,025}\approx 0{,}8145$

$P(\text{alguno})=1-P(\text{ninguno})=1-0{,}8145=0{,}1855$

La probabilidad de que alguno de los dos habitantes escogidos viva en una vivienda unipersonal es de $0{,}1855$, es decir, un 18,55 %. Es algo menos del doble de la probabilidad de un solo habitante, y tiene que ser así porque al sumar los dos casos por separado se contaría dos veces el caso en que los dos viven solos.