Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Un estudio de mercado indica que unos clientes determinados tienen un 7 % de probabilidades de comprar un producto $A$, y un 10 % de probabilidades de comprar un producto $B$.

a) Si la probabilidad de «comprar $A$ y no comprar $B$» es de un 6 %, ¿son independientes los sucesos «comprar $A$» y «comprar $B$»? [5 puntos]

b) Si los sucesos «comprar $A$» y «comprar $B$» fuesen independientes, ¿qué sería mayor: la probabilidad de «no comprar $A$», o la probabilidad de «no comprar $A$, sabiendo que se ha comprado $B$»? [5 puntos]

$\textbf{a) Si la probabilidad de «comprar } \boldsymbol{A}\textbf{ y no comprar } \boldsymbol{B}\textbf{» es de un 6 \%, ¿son independientes los sucesos «comprar } \boldsymbol{A}\textbf{» y «comprar } \boldsymbol{B}\textbf{»? [5 puntos]}$

Llamamos $A$ al suceso «comprar el producto $A$» y $B$ al suceso «comprar el producto $B$». Los datos del enunciado son:

$P(A)=0{,}07,\qquad P(B)=0{,}10,\qquad P(A\cap\overline{B})=0{,}06$

Para decidir la independencia hace falta la probabilidad de la intersección, que se obtiene descomponiendo $A$ según ocurra o no $B$: comprar $A$ es, o comprar los dos, o comprar $A$ y no $B$, y esos dos casos son incompatibles.

$A=(A\cap B)\cup(A\cap\overline{B}) \Rightarrow P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})$

$0{,}07=P(A\cap B)+0{,}06 \Rightarrow P(A\cap B)=0{,}01$

Con eso ya se puede repartir la probabilidad de las cuatro zonas del espacio muestral.

$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}10-0{,}01=0{,}09$

$P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-0{,}06-0{,}01-0{,}09=0{,}84$



Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades. Comparamos.

$P(A)\cdot P(B)=0{,}07\cdot 0{,}10=0{,}007$

$P(A\cap B)=0{,}01\neq 0{,}007=P(A)\cdot P(B)$

Los dos sucesos no son independientes. La intersección pesa más de lo que le tocaría por azar ($1\ \%$ frente al $0{,}7\ \%$ esperado), así que comprar un producto hace algo más probable comprar el otro.

$\textbf{b) Si los sucesos «comprar } \boldsymbol{A}\textbf{» y «comprar } \boldsymbol{B}\textbf{» fuesen independientes, ¿qué sería mayor: la probabilidad de «no comprar } \boldsymbol{A}\textbf{», o la probabilidad de «no comprar } \boldsymbol{A}\textbf{, sabiendo que se ha comprado } \boldsymbol{B}\textbf{»? [5 puntos]}$

Ahora se supone la independencia, que es lo contrario de lo que ocurría en el apartado a). La primera probabilidad es la del suceso contrario de $A$.

$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}07=0{,}93$

La segunda es una probabilidad condicionada. Si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $\overline{A}$ y $B$, porque saber que ha ocurrido $B$ no cambia nada sobre $A$ ni, por tanto, sobre su contrario.

$P(\overline{A}/B)=\dfrac{P(\overline{A}\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(\overline{A})\cdot P(B)}{P(B)}=P(\overline{A})=0{,}93$

Ninguna de las dos sería mayor: bajo la hipótesis de independencia las dos probabilidades valen lo mismo, $0{,}93$. Eso es precisamente lo que significa que dos sucesos sean independientes: la información de que se ha comprado $B$ no altera la probabilidad de no comprar $A$.