Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

Según un estudio de mercado, la cantidad de gente que asistirá a un espectáculo, $g$ (en número de personas), en función del precio de la entrada, $p$ (en €), será la siguiente:

$g(p) = \begin{cases} 500, & \text{para } p = 0, \\ 300 - 3p, & \text{para } 0 < p < 100, \\ 0, & \text{para } p = 100. \end{cases}$

a) ¿Cuál es el dominio de $g(p)$? ¿Es esta función continua? [3 puntos]

b) Según el estudio de mercado, si asisten 240 personas, ¿cuál habrá sido el precio de la entrada? [2 puntos]

c) Los ingresos son el producto del precio por la cantidad de gente que asistirá. Según el estudio, ¿qué precio maximiza los ingresos? [5 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es el dominio de } \boldsymbol{g(p)}\textbf{? ¿Es esta función continua? [3 puntos]}$

La función está definida a trozos y los tres trozos cubren, sin dejar huecos, el valor $p=0$, el intervalo abierto $(0,100)$ y el valor $p=100$.

$\text{Dom } g(p)=\{0\}\cup(0,100)\cup\{100\}=[0,100]$

Tiene sentido: el precio de una entrada no puede ser negativo y, según el modelo, a partir de 100 € no asiste nadie.

Para la continuidad, dentro de $(0,100)$ la función es el polinomio $300-3p$ y no hay problema. Los puntos dudosos son los dos extremos, donde cambia la definición.

En $p=0$ solo se puede acercar por la derecha, porque a la izquierda no hay dominio.

$g(0)=500$

$\lim_{p\to 0^+}g(p)=\lim_{p\to 0^+}(300-3p)=300$

$\lim_{p\to 0^+}g(p)=300\neq 500=g(0)$

El límite existe pero no coincide con el valor de la función, de modo que en $p=0$ hay una discontinuidad de salto finito, de amplitud $500-300=200$ personas.

En $p=100$ se acerca solo por la izquierda.

$g(100)=0$

$\lim_{p\to 100^-}g(p)=\lim_{p\to 100^-}(300-3p)=300-300=0=g(100)$

Aquí sí coinciden, luego la función es continua en $p=100$.

El dominio es $[0,100]$ y la función no es continua: es continua en $(0,100]$ y presenta en $p=0$ una discontinuidad de salto finito. El salto tiene una lectura clara: si la entrada es gratis acuden 500 personas, pero en cuanto se cobra algo, aunque sea muy poco, la asistencia cae de golpe a unas 300.



$\textbf{b) Según el estudio de mercado, si asisten 240 personas, ¿cuál habrá sido el precio de la entrada? [2 puntos]}$

El valor 240 no es ni 500 ni 0, así que corresponde al trozo central, el del intervalo $(0,100)$. Se plantea la ecuación y se despeja.

$g(p)=240 \Rightarrow 300-3p=240$

$-3p=240-300=-60 \Rightarrow p=\dfrac{60}{3}=20$

El valor obtenido, $p=20$, pertenece al intervalo $(0,100)$, luego es válido.

El precio de la entrada habrá sido de 20 €.

$\textbf{c) Los ingresos son el producto del precio por la cantidad de gente que asistirá. Según el estudio, ¿qué precio maximiza los ingresos? [5 puntos]}$

Escribimos la función de ingresos, que también queda definida a trozos.

$I(p)=p\cdot g(p)= \begin{cases} 0\cdot 500=0, & p=0 \\ p(300-3p)=300p-3p^2, & 0<p<100 \\ 100\cdot 0=0, & p=100 \end{cases}$

En los dos extremos los ingresos son nulos, y por motivos opuestos: con la entrada gratis acude mucha gente pero no paga nadie, y a 100 € no acude nadie. El máximo, por tanto, hay que buscarlo dentro del intervalo. Derivamos la parábola e igualamos a cero.

$I(p)=300p-3p^2 \Rightarrow I'(p)=300-6p$

$I'(p)=0 \Rightarrow 300-6p=0 \Rightarrow p=\dfrac{300}{6}=50$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$I''(p)=-6 \Rightarrow I''(50)=-6<0$

Se trata en efecto de un máximo. Calculamos los ingresos y la asistencia en ese precio.

$I(50)=300\cdot 50-3\cdot 50^2=15\,000-7500=7500$

$g(50)=300-3\cdot 50=150 \ \text{personas}$

El precio que maximiza los ingresos es de 50 €. Con él asisten 150 personas y se recaudan 7500 €, muy por encima de los 0 € que se obtendrían con la entrada gratuita o a 100 €.