Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa produce dos tipos de productos: aspiradoras y baterías eléctricas.

— Para producir una aspiradora, necesitamos 5 h de un operario y 4 kg de materias primas.

— Para producir una batería, necesitamos 1 h de un operario y 1 kg de materias primas.

Cada aspiradora se vende por 100 € y cada batería, por 22 €. Disponemos de un máximo de 110 horas de operarios y de 100 kg de materias primas. Supondremos que venderemos toda la producción.

a) ¿Cuántas unidades de cada tipo hemos de producir para maximizar los ingresos? [8 puntos]

b) Si el precio de venta de las aspiradoras va disminuyendo, habrá un momento en que será más rentable fabricar solo baterías. Calcule cuál es el precio de venta que han de tener las aspiradoras para que el máximo beneficio total se dé cuando solo producimos baterías. [2 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuántas unidades de cada tipo hemos de producir para maximizar los ingresos? [8 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de aspiradoras que se producen e $y$ al número de baterías.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado.

$$	$\text{Horas}$	$\text{Materias primas (kg)}$	$\text{Ingresos (€)}$ $\text{Aspiradoras } (x)$	$5x$	$4x$	$100x$ $\text{Baterías } (y)$	$y$	$y$	$22y$ $\text{Totales}$	$5x+y$	$4x+y$	$100x+22y$

La función objetivo son los ingresos, y hay que maximizarlos.

$I(x,y)=100x+22y$

Las restricciones son las siguientes.

Hay un máximo de 110 horas de operarios $\Rightarrow$ $5x+y\leq 110$.

Hay un máximo de 100 kg de materias primas $\Rightarrow$ $4x+y\leq 100$.

Las cantidades producidas no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

$\begin{cases} 5x+y\leq 110 \\ 4x+y\leq 100 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Para representar la región factible dibujamos las rectas que la delimitan con una tabla de valores de cada una.

$5x+y=110 \Rightarrow y=110-5x$

$4x+y=100 \Rightarrow y=100-4x$

$5x+y=110$	$4x+y=100$ $(22,0)$	$(25,0)$ $(10,60)$	$(10,60)$

La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas correspondientes.

Vértice $O$: es el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$: $\begin{cases} 4x+y=100 \\ x=0 \end{cases} \Rightarrow y=100 \Rightarrow A(0,100)$

Vértice $B$: $\begin{cases} 5x+y=110 \\ 4x+y=100 \end{cases}$ $\Rightarrow$ restamos las dos ecuaciones:

$(5x+y)-(4x+y)=110-100 \Rightarrow x=10$

$y=100-4\cdot 10=60 \Rightarrow B(10,60)$

Vértice $C$: $\begin{cases} 5x+y=110 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow 5x=110 \Rightarrow x=22 \Rightarrow C(22,0)$

El punto $(25,0)$, donde la recta de las materias primas corta el eje de abscisas, no es vértice de la región factible: con 25 aspiradoras harían falta $5\cdot 25=125$ horas y solo hay 110.

Valoramos la función de ingresos en los cuatro vértices.

$O(0,0) \Rightarrow I=0$

$A(0,100) \Rightarrow I=22\cdot 100=2200$

$B(10,60) \Rightarrow I=100\cdot 10+22\cdot 60=1000+1320=2320$

$C(22,0) \Rightarrow I=100\cdot 22=2200$

Hay que producir 10 aspiradoras y 60 baterías, con lo que se agotan las 110 horas y los 100 kg de materias primas, y los ingresos son de 2320 €, que es el máximo posible.

$\textbf{b) Si el precio de venta de las aspiradoras va disminuyendo, habrá un momento en que será más rentable fabricar solo baterías. Calcule cuál es el precio de venta que han de tener las aspiradoras para que el máximo beneficio total se dé cuando solo producimos baterías. [2 puntos]}$

Llamamos $a$ al nuevo precio de venta de una aspiradora. La función objetivo pasa a ser

$I(x,y)=a\,x+22y$

La región factible no cambia, porque las restricciones son de horas y de materias primas, no de precios. Fabricar solo baterías es el vértice $A(0,100)$, así que se busca el valor de $a$ para el cual $A$ pasa a dar el mayor de los ingresos. Valoramos de nuevo en los vértices.

$A(0,100) \Rightarrow I=2200$

$B(10,60) \Rightarrow I=10a+1320$

$C(22,0) \Rightarrow I=22a$

Imponemos que el ingreso en $A$ no sea menor que los otros dos.

$2200\geq 10a+1320 \Rightarrow 10a\leq 880 \Rightarrow a\leq 88$

$2200\geq 22a \Rightarrow a\leq 100$

La condición más exigente es la primera, de manera que el vértice $A$ gana en cuanto $a\leq 88$.

Las aspiradoras han de venderse a 88 € para que fabricar solo baterías dé el máximo. A ese precio los dos planes empatan en 2200 € de ingresos, y en cuanto el precio baja de 88 € el máximo se alcanza únicamente produciendo 100 baterías y ninguna aspiradora.