Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices siguientes:

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} x & -3 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} y & z \\ 7 & -1 \end{pmatrix}.$

a) Sabemos que existe un valor $x$ tal que $B$ es la inversa de $A$. ¿Cuál es este valor $x$? [3 puntos]

b) Para el valor $x$ del apartado anterior, calcule $(A + I)(B - I) + (A - I)(B + I)$. [4 puntos]

c) ¿Existen algunos valores para $y$ y $z$ de manera que $C$ sea la inversa de $A$? [3 puntos]

$\textbf{a) Sabemos que existe un valor } \boldsymbol{x}\textbf{ tal que } \boldsymbol{B}\textbf{ es la inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{. ¿Cuál es este valor } \boldsymbol{x}\textbf{? [3 puntos]}$

Calculamos la inversa de $A$ y comparamos. Primero el determinante, que debe ser distinto de cero para que la inversa exista.

$|A|=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 8 \end{vmatrix}=2\cdot 8-3\cdot 5=16-15=1\neq 0$

Para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo entre el determinante.

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\begin{pmatrix} 8 & -3 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & -3 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$

Comparamos con la matriz $B$ del enunciado.

$B=\begin{pmatrix} x & -3 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & -3 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow x=8$

Comprobamos que el producto da la identidad.

$A\cdot B=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 8 & -3 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16-15 & -6+6 \\ 40-40 & -15+16 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$

El valor buscado es $x=8$.

$\textbf{b) Para el valor } \boldsymbol{x}\textbf{ del apartado anterior, calcule } \boldsymbol{(A + I)(B - I) + (A - I)(B + I)}\textbf{. [4 puntos]}$

Antes de multiplicar matrices conviene desarrollar la expresión, porque se simplifica muchísimo. Se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta que la identidad conmuta con cualquier matriz.

$(A+I)(B-I)=AB-AI+IB-I^2=AB-A+B-I$

$(A-I)(B+I)=AB+AI-IB-I^2=AB+A-B-I$

Sumamos las dos expresiones: los términos $A$ y $B$ se cancelan.

$(A+I)(B-I)+(A-I)(B+I)=2AB-2I$

Y por el apartado a) sabemos que $B=A^{-1}$, luego $AB=I$.

$2AB-2I=2I-2I=0$

$(A+I)(B-I)+(A-I)(B+I)=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

El resultado es la matriz nula de orden 2. Nótese que el desarrollo solo ha necesitado que $B$ sea la inversa de $A$; con cualquier otro par de matrices inversas saldría lo mismo.

$\textbf{c) ¿Existen algunos valores para } \boldsymbol{y}\textbf{ y } \boldsymbol{z}\textbf{ de manera que } \boldsymbol{C}\textbf{ sea la inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{? [3 puntos]}$

La inversa de una matriz, cuando existe, es única. En el apartado a) ya la hemos calculado, así que basta comparar.

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 8 & -3 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix} y & z \\ 7 & -1 \end{pmatrix}$

Igualando elemento a elemento salen cuatro condiciones, y dos de ellas no dependen de $y$ ni de $z$.

$\begin{cases} y=8 \\ z=-3 \\ 7=-5 \\ -1=2 \end{cases}$

Las dos últimas igualdades son falsas, y no hay manera de arreglarlas eligiendo $y$ y $z$, porque en la segunda fila de $C$ no aparece ninguna incógnita.

No existen tales valores: cualesquiera que sean $y$ y $z$, la matriz $C$ no puede ser la inversa de $A$, ya que su segunda fila es $(7,-1)$ y la de $A^{-1}$ es $(-5,2)$.