Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Según el Instituto Nacional de Estadística (INE), la esperanza de vida de una persona nacida en 2020 es de 79,6 años para los hombres y de 83,6 años para las mujeres. Supongamos también que el número de años que vivirá una persona nacida en 2020 tiene una desviación típica de $\sigma = 10$ años tanto para los hombres como para las mujeres.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre nacido en 2020 viva más de 60 años? ¿Y de que viva entre 60 y 70 años? [6 puntos]

b) ¿Qué es más probable: que un hombre nacido en 2020 viva más de 89,6 años, o que una mujer nacida en 2020 viva más de 93,6 años? [4 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre nacido en 2020 viva más de 60 años? ¿Y de que viva entre 60 y 70 años? [6 puntos]}$

Llamamos $X$ al número de años que vivirá un hombre nacido en 2020. Según el enunciado sigue una distribución normal de media 79,6 años y desviación típica 10 años.

$X\sim N(79{,}6\,;\,10)$

Esa normal no es la estándar, de modo que hay que tipificar antes de acudir a la tabla.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-79{,}6}{10} \Rightarrow Z\sim N(0,1)$

Empezamos por la primera probabilidad.

$P(X>60)=P\left(Z>\dfrac{60-79{,}6}{10}\right)=P(Z>-1{,}96)$

La tabla solo recoge probabilidades acumuladas de valores positivos, así que se usa la simetría de la campana: la cola de la derecha de $-1{,}96$ tiene la misma área que la de la izquierda de $1{,}96$.

$P(Z>-1{,}96)=P(Z<1{,}96)=0{,}9750$

La probabilidad de que un hombre nacido en 2020 viva más de 60 años es de $0{,}9750$, es decir, un 97,50 %.



Para la segunda probabilidad se tipifican los dos extremos del intervalo.

$P(60<X<70)=P\left(\dfrac{60-79{,}6}{10}<Z<\dfrac{70-79{,}6}{10}\right)=P(-1{,}96<Z<-0{,}96)$

La probabilidad de un intervalo es la diferencia de las probabilidades acumuladas en sus extremos.

$P(-1{,}96<Z<-0{,}96)=P(Z<-0{,}96)-P(Z<-1{,}96)$

Cada una se pasa a un valor positivo por simetría y se lee en la tabla.

$P(Z<-0{,}96)=1-P(Z<0{,}96)=1-0{,}8315=0{,}1685$

$P(Z<-1{,}96)=1-P(Z<1{,}96)=1-0{,}9750=0{,}0250$

$P(60<X<70)=0{,}1685-0{,}0250=0{,}1435$

La probabilidad de que viva entre 60 y 70 años es de $0{,}1435$, es decir, un 14,35 %.



$\textbf{b) ¿Qué es más probable: que un hombre nacido en 2020 viva más de 89,6 años, o que una mujer nacida en 2020 viva más de 93,6 años? [4 puntos]}$

Llamamos $Y$ al número de años que vivirá una mujer nacida en 2020, que sigue una normal con la misma desviación típica pero con media 83,6 años.

$X\sim N(79{,}6\,;\,10),\qquad Y\sim N(83{,}6\,;\,10)$

Tipificamos cada una de las dos probabilidades por separado.

$P(X>89{,}6)=P\left(Z>\dfrac{89{,}6-79{,}6}{10}\right)=P(Z>1)$

$P(Y>93{,}6)=P\left(Z>\dfrac{93{,}6-83{,}6}{10}\right)=P(Z>1)$

Las dos tipificaciones dan el mismo valor de $z$, luego las dos probabilidades son la misma.

$P(Z>1)=1-P(Z\leq 1)=1-0{,}8413=0{,}1587$

Las dos cosas son igual de probables, y ambas valen $0{,}1587$, es decir, un 15,87 %. La razón es que en los dos casos se pregunta por vivir 10 años más que la media de su grupo, y las dos distribuciones tienen la misma desviación típica: al tipificar, los 10 años se convierten en la misma desviación, $z=1$.