Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

La probabilidad de que llueva un día cualquiera es siempre la misma. Ahora bien, si un día cualquiera ha llovido, la probabilidad de que llueva el día siguiente es del 40 %; y si un día cualquiera no ha llovido, la probabilidad de que llueva el día siguiente es del 5 %.

Considere los sucesos siguientes:

— $A$: hoy ha llovido.

— $B$: mañana lloverá.

a) Calcule $P(A)$ y $P(B)$. [5 puntos]

b) ¿Qué es más probable: que llueva mañana si sabemos que ha llovido hoy, o que haya llovido hoy si sabemos que mañana seguro que lloverá? [5 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{P(A)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(B)}\textbf{. [5 puntos]}$

El enunciado dice que la probabilidad de que llueva un día cualquiera es siempre la misma. Llamamos $p$ a esa probabilidad; como $A$ es «hoy ha llovido» y $B$ es «mañana lloverá», los dos sucesos se refieren a un día cualquiera y tienen la misma probabilidad.

$P(A)=P(B)=p$

Los datos son las dos probabilidades condicionadas.

$P(B/A)=0{,}4,\qquad P(B/\overline{A})=0{,}05$

Hacemos un diagrama de árbol con lo que pasa hoy y lo que pasa mañana.



Los sucesos $A$ y $\overline{A}$ forman un sistema completo, luego por el teorema de la probabilidad total:

$P(B)=P(A)\cdot P(B/A)+P(\overline{A})\cdot P(B/\overline{A})$

$P(B)=p\cdot 0{,}4+(1-p)\cdot 0{,}05$

Y ahora se usa la condición de que la probabilidad es la misma todos los días, $P(B)=p$, con lo que resulta una ecuación de primer grado.

$p=0{,}4p+0{,}05-0{,}05p \Rightarrow p=0{,}35p+0{,}05$

$p-0{,}35p=0{,}05 \Rightarrow 0{,}65p=0{,}05$

$p=\dfrac{0{,}05}{0{,}65}=\dfrac{5}{65}=\dfrac{1}{13}\approx 0{,}0769$

Las dos probabilidades pedidas son iguales y valen $P(A)=P(B)=1/13\approx 0{,}0769$, es decir, un 7,69 %: llueve algo menos de un día de cada trece.

$\textbf{b) ¿Qué es más probable: que llueva mañana si sabemos que ha llovido hoy, o que haya llovido hoy si sabemos que mañana seguro que lloverá? [5 puntos]}$

Hay que comparar dos probabilidades condicionadas. La primera es un dato del enunciado.

$P(B/A)=0{,}4$

La segunda es una probabilidad a posteriori, así que utilizamos el teorema de Bayes.

$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A)\cdot P(B/A)}{P(B)}$

Calculamos primero la intersección.

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B/A)=\dfrac{1}{13}\cdot 0{,}4=\dfrac{0{,}4}{13}=\dfrac{2}{65}\approx 0{,}0308$

$P(A/B)=\dfrac{2/65}{1/13}=\dfrac{2}{65}\cdot\dfrac{13}{1}=\dfrac{26}{65}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$

Las dos probabilidades coinciden. No es casualidad: por el apartado a) sabemos que $P(A)=P(B)$, y al sustituir en la fórmula de Bayes esos dos factores se cancelan.

$P(A/B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B/A)}{P(B)}=P(B/A)\cdot\dfrac{P(A)}{P(B)}=P(B/A)\cdot 1=P(B/A)$

Las dos cosas son igual de probables: tanto la probabilidad de que llueva mañana sabiendo que hoy ha llovido como la de que haya llovido hoy sabiendo que mañana lloverá valen $0{,}4$, un 40 %.