Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

En una población,

— el 50 % de habitantes con mayor poder adquisitivo tienen una probabilidad de vivir de alquiler de un 10 %, y

— el 50 % de habitantes con menor poder adquisitivo tienen una probabilidad de vivir de alquiler de un 40 %.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, escogiendo un habitante al azar, este viva de alquiler? [4 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que, escogiendo de manera independiente tres habitantes al azar, los tres vivan de alquiler? [3 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que, escogiendo de manera independiente tres habitantes al azar, al menos uno de los tres viva de alquiler? [3 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que, escogiendo un habitante al azar, este viva de alquiler? [4 puntos]}$

Nombramos los sucesos:

$M \equiv$ tener mayor poder adquisitivo,

$m \equiv$ tener menor poder adquisitivo,

$L \equiv$ vivir de alquiler.

Los datos del enunciado son las dos probabilidades de partida y las dos condicionadas.

$P(M)=0{,}5,\qquad P(m)=0{,}5$

$P(L/M)=0{,}1,\qquad P(L/m)=0{,}4$

Hacemos un diagrama de árbol.



Los sucesos $M$ y $m$ forman un sistema completo, así que se aplica el teorema de la probabilidad total: se recorren las dos ramas que acaban en «vive de alquiler» y se suman sus productos.

$P(L)=P(M)\cdot P(L/M)+P(m)\cdot P(L/m)$

$P(L)=0{,}5\cdot 0{,}1+0{,}5\cdot 0{,}4=0{,}05+0{,}20=0{,}25$

Escogiendo un habitante al azar, la probabilidad de que viva de alquiler es de $0{,}25$, es decir, un 25 %.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que, escogiendo de manera independiente tres habitantes al azar, los tres vivan de alquiler? [3 puntos]}$

Al ser las tres elecciones independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.

$P(\text{los tres})=P(L)\cdot P(L)\cdot P(L)=\left(P(L)\right)^3$

$P(\text{los tres})=0{,}25^3=\left(\dfrac{1}{4}\right)^3=\dfrac{1}{64}=0{,}015625$

La probabilidad de que los tres habitantes escogidos vivan de alquiler es de $1/64\approx 0{,}0156$, es decir, un 1,56 %.

$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que, escogiendo de manera independiente tres habitantes al azar, al menos uno de los tres viva de alquiler? [3 puntos]}$

«Al menos uno» reúne muchos casos (uno, dos o tres), así que resulta más corto pasar por el suceso contrario, que es «ninguno de los tres vive de alquiler».

$P(\overline{L})=1-P(L)=1-0{,}25=0{,}75$

$P(\text{ninguno})=0{,}75^3=\left(\dfrac{3}{4}\right)^3=\dfrac{27}{64}=0{,}421875$

$P(\text{al menos uno})=1-P(\text{ninguno})=1-\dfrac{27}{64}=\dfrac{37}{64}$

$P(\text{al menos uno})=0{,}578125$

La probabilidad de que al menos uno de los tres habitantes viva de alquiler es de $37/64\approx 0{,}5781$, es decir, un 57,81 %.