Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

Considere dos funciones, $f(x)$ y $g(x)$, que están representadas en la gráfica siguiente:



a) Sabemos que una de las funciones es $x(x-1)(x+1)$ y que la otra es $\left(x - 1/\sqrt{3}\right)\left(x + 1/\sqrt{3}\right)$, pero no sabemos cuál es cuál. Deduzca, partiendo de la gráfica, cuál es $f(x)$ y cuál es $g(x)$. Justifique la respuesta. [3 puntos]

b) Sabemos que una de ellas es la derivada de la otra. Diga cuál es cuál: ¿es $f(x) = g'(x)$? ¿o bien es $g(x) = f'(x)$? [3 puntos]

c) Calcule el área entre la función $g(x)$ y el eje de abscisas que se encuentra comprendida entre los puntos en que $g(x) = 0$. [4 puntos]

$\textbf{a) Sabemos que una de las funciones es } \boldsymbol{x(x-1)(x+1)}\textbf{ y que la otra es } \boldsymbol{\left(x - 1/\sqrt{3}\right)\left(x + 1/\sqrt{3}\right)}\textbf{, pero no sabemos cuál es cuál. Deduzca, partiendo de la gráfica, cuál es } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y cuál es } \boldsymbol{g(x)}\textbf{. Justifique la respuesta. [3 puntos]}$

Desarrollamos las dos expresiones para ver de qué tipo de función se trata cada una.

$x(x-1)(x+1)=x\left(x^2-1\right)=x^3-x$

$\left(x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=x^2-\dfrac{1}{3}$

La primera es un polinomio de tercer grado y la segunda uno de segundo grado, y en la gráfica se distinguen sin dificultad.

La curva de trazo continuo corta el eje de abscisas en tres puntos, $x=-1$, $x=0$ y $x=1$, tiene un máximo y un mínimo y sale hacia $-\infty$ por la izquierda y hacia $+\infty$ por la derecha. Ese comportamiento es el de una cúbica con coeficiente principal positivo, y los tres cortes coinciden exactamente con las raíces de $x^3-x=x(x-1)(x+1)$.

La curva de trazo discontinuo es una parábola: es simétrica respecto del eje de ordenadas, tiene el vértice sobre ese eje y corta el eje de abscisas en dos puntos simétricos, que son las raíces de la otra expresión.

$x^2-\dfrac{1}{3}=0 \Rightarrow x^2=\dfrac{1}{3} \Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx \pm 0{,}577$

Por tanto, $f(x)=x(x-1)(x+1)=x^3-x$ es la cúbica de trazo continuo, y $g(x)=\left(x-1/\sqrt{3}\right)\left(x+1/\sqrt{3}\right)=x^2-1/3$ es la parábola de trazo discontinuo, que es además lo que rotula la propia gráfica.

$\textbf{b) Sabemos que una de ellas es la derivada de la otra. Diga cuál es cuál: ¿es } \boldsymbol{f(x) = g'(x)}\textbf{? ¿o bien es } \boldsymbol{g(x) = f'(x)}\textbf{? [3 puntos]}$

Basta razonar sobre los grados: al derivar, el grado baja una unidad. La derivada de una cúbica es una parábola, y la derivada de una parábola es una recta. Como una de las dos funciones es la derivada de la otra, la derivada tiene que ser la parábola.

$f(x)\ \text{de grado }3 \Rightarrow f'(x)\ \text{de grado }2 \Rightarrow g(x)=f'(x)$

La gráfica lo confirma en todo. La parábola se anula justamente en los dos puntos donde la cúbica tiene su máximo y su mínimo, $x=\pm\sqrt{3}/3$, es negativa en el tramo en que la cúbica decrece y positiva en los tramos en que crece: eso es el comportamiento de la derivada.

$f'(x)=\left(x^3-x\right)'=3x^2-1$

$3x^2-1=0 \Rightarrow x^2=\dfrac{1}{3} \Rightarrow x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Se descarta la otra posibilidad, $f(x)=g'(x)$, porque la derivada de la parábola es la recta $g'(x)=2x$, que no es la cúbica.

Por tanto, $g(x)=f'(x)$. Conviene advertir que las dos expresiones se anulan en los mismos puntos pero no son idénticas: la derivada de $x^3-x$ es $3x^2-1$, que es exactamente la parábola dibujada en la figura, mientras que la expresión escrita en el enunciado, $x^2-1/3$, es esa misma parábola dividida entre 3. Es la razón por la que la parábola de la figura tiene el vértice en $-1$ y no en $-1/3$.

$\textbf{c) Calcule el área entre la función } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ y el eje de abscisas que se encuentra comprendida entre los puntos en que } \boldsymbol{g(x) = 0}\textbf{. [4 puntos]}$

Los límites de integración son las raíces de $g(x)$, que ya se calcularon en el apartado a).

$g(x)=0 \Rightarrow x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \quad\text{y}\quad x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Entre esos dos puntos la parábola queda por debajo del eje de abscisas, como se ve en la gráfica y como confirma el valor en el vértice.

$g(0)=0^2-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}<0$

Cuando el recinto está por debajo del eje, la integral definida sale negativa, así que se integra la función cambiada de signo para obtener directamente el área.

$\text{Área}=\int_{-\sqrt{3}/3}^{\sqrt{3}/3}\left(\dfrac{1}{3}-x^2\right)dx$

$=\left[\dfrac{x}{3}-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-\sqrt{3}/3}^{\sqrt{3}/3}$

Aprovechamos que el integrando es una función par y que el recinto es simétrico respecto del eje de ordenadas: el área es el doble de la mitad derecha.

$\text{Área}=2\left(\dfrac{\sqrt{3}/3}{3}-\dfrac{\left(\sqrt{3}/3\right)^3}{3}\right)$

$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^3=\dfrac{3\sqrt{3}}{27}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$

$\text{Área}=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{9}-\dfrac{\sqrt{3}}{27}\right)=2\cdot\dfrac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{27}=2\cdot\dfrac{2\sqrt{3}}{27}=\dfrac{4\sqrt{3}}{27}$

$\text{Área}=\dfrac{4\sqrt{3}}{27}\approx 0{,}2566 \ \text{unidades de área}$

El área encerrada entre la parábola $g(x)=x^2-1/3$ y el eje de abscisas, entre sus dos raíces, es de $\dfrac{4\sqrt{3}}{27}\approx 0{,}2566$ unidades de área. Si en lugar de la expresión escrita en el enunciado se toma la parábola que aparece dibujada, $3x^2-1$, el recinto tiene los mismos límites y el área es el triple, $\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\approx 0{,}7698$ unidades de área.