Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un cliente nos pide ayuda para invertir un máximo de 10.000 € en dos productos de inversión diferentes: acciones y bonos. El cliente quiere invertir al menos la misma cantidad en acciones que en bonos. Además, quiere invertir entre 2.000 € y 8.000 € en bonos, y entre 4.000 € y 6.000 € en acciones.

El interés previsto para las acciones es de un 6 % anual, mientras que para los bonos es de un 2 % anual.

a) Plantee la maximización del interés previsto por las inversiones como un problema de programación lineal. [3 puntos]

b) Dibuje la región factible, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [5 puntos]

c) ¿Cuál debería ser la inversión en cada tipo de producto para maximizar el interés anual previsto? ¿Cuánto dinero se generaría con esta inversión? [2 puntos]

$\textbf{a) Plantee la maximización del interés previsto por las inversiones como un problema de programación lineal. [3 puntos]}$

Llamamos $x$ a los euros invertidos en acciones e $y$ a los euros invertidos en bonos.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado.

$$	$\text{Inversión (€)}$	$\text{Interés anual}$	$\text{Límites (€)}$ Acciones	$x$	$0{,}06x$	de 4000 a 6000 Bonos	$y$	$0{,}02y$	de 2000 a 8000 Totales	$x+y$	$0{,}06x+0{,}02y$	máximo 10000

La función objetivo es el interés anual previsto, y hay que maximizarla.

$I(x,y)=0{,}06x+0{,}02y$

Las restricciones son las siguientes.

Se invierte un máximo de 10000 € en total $\Rightarrow$ $x+y\leq 10000$.

Al menos la misma cantidad en acciones que en bonos $\Rightarrow$ $x\geq y$.

Entre 2000 € y 8000 € en bonos $\Rightarrow$ $2000\leq y\leq 8000$.

Entre 4000 € y 6000 € en acciones $\Rightarrow$ $4000\leq x\leq 6000$.

El problema de programación lineal queda así:

$\text{Maximizar } I(x,y)=0{,}06x+0{,}02y \quad \text{sujeto a} \quad \begin{cases} x+y\leq 10000 \\ x\geq y \\ 2000\leq y\leq 8000 \\ 4000\leq x\leq 6000 \end{cases}$

Las condiciones $x\geq 0$ e $y\geq 0$ no hace falta añadirlas: ya están implicadas por las cotas inferiores 4000 y 2000.

$\textbf{b) Dibuje la región factible, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [5 puntos]}$

Las rectas que delimitan el recinto son las que se obtienen al convertir cada inecuación en igualdad. La restricción $y\leq 8000$ no llega a delimitar nada, porque las otras condiciones ya obligan a que $y\leq 5000$; por eso no aparece en el dibujo.

$\text{Restricción}$	$\text{Recta}$ $x+y\leq 10000$	$y=10000-x$ $x\geq y$	$y=x$ $y\geq 2000$	$y=2000$ $x\geq 4000$	$x=4000$ $x\leq 6000$	$x=6000$

La región factible es la zona coloreada en azul: un pentágono.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de las dos rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$: $\begin{cases} x=4000 \\ y=2000 \end{cases} \Rightarrow A(4000,2000)$

Vértice $B$: $\begin{cases} x=6000 \\ y=2000 \end{cases} \Rightarrow B(6000,2000)$

Vértice $C$: $\begin{cases} x=6000 \\ x+y=10000 \end{cases} \Rightarrow y=10000-6000=4000 \Rightarrow C(6000,4000)$

Vértice $D$: $\begin{cases} y=x \\ x+y=10000 \end{cases} \Rightarrow 2x=10000 \Rightarrow x=5000 \Rightarrow D(5000,5000)$

Vértice $E$: $\begin{cases} x=4000 \\ y=x \end{cases} \Rightarrow E(4000,4000)$

La región factible es el pentágono de vértices $A(4000,2000)$, $B(6000,2000)$, $C(6000,4000)$, $D(5000,5000)$ y $E(4000,4000)$.

$\textbf{c) ¿Cuál debería ser la inversión en cada tipo de producto para maximizar el interés anual previsto? ¿Cuánto dinero se generaría con esta inversión? [2 puntos]}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de una función objetivo lineal sobre un recinto convexo y acotado se alcanza en un vértice. Valoramos la función interés en los cinco.

$A(4000,2000) \Rightarrow I=0{,}06\cdot 4000+0{,}02\cdot 2000=240+40=280$

$B(6000,2000) \Rightarrow I=0{,}06\cdot 6000+0{,}02\cdot 2000=360+40=400$

$C(6000,4000) \Rightarrow I=0{,}06\cdot 6000+0{,}02\cdot 4000=360+80=440$

$D(5000,5000) \Rightarrow I=0{,}06\cdot 5000+0{,}02\cdot 5000=300+100=400$

$E(4000,4000) \Rightarrow I=0{,}06\cdot 4000+0{,}02\cdot 4000=240+80=320$

El mayor de los cinco valores se da en $C(6000,4000)$. Es lo esperable: las acciones rentan el triple que los bonos, así que conviene llevar la inversión en acciones a su tope de 6000 € y gastar el resto del presupuesto en bonos.

Hay que invertir 6000 € en acciones y 4000 € en bonos, agotando los 10000 € disponibles. Con esa inversión se generarían 440 € de intereses al año.