Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Considere la función $f(x) = 10^x + x^{10}$, para $x \in (0, +\infty)$.

a) Calcule $\lim_{x \to 0} f(x)$ y $\lim_{x \to \infty} f(x)$. [1 punto]

b) Calcule $f'(x)$. [1 punto]

c) Calcule justificadamente $\displaystyle\int_{0}^{1} f'(x)\,dx$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{\lim_{x \to 0} f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{\lim_{x \to \infty} f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

La función es la suma de una exponencial de base 10 y de una potencia, y las dos son continuas, de modo que el primer límite se calcula sustituyendo.

$\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\left(10^x+x^{10}\right)=10^0+0^{10}=1+0=1$

Para el segundo límite basta razonar que los dos sumandos crecen sin tope cuando $x$ crece.

$\lim_{x\to +\infty}10^x=+\infty,\qquad \lim_{x\to +\infty}x^{10}=+\infty$

$\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty+\infty=+\infty$

Los límites son $1$ en el extremo izquierdo del dominio y $+\infty$ en el derecho. Conviene retener el primero: aunque $x=0$ no pertenece al dominio $(0,+\infty)$, la función se prolonga de manera continua a ese punto con el valor 1.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{f'(x)}\textbf{. [1 punto]}$

Se deriva sumando por separado la exponencial y la potencia. Recordamos las dos reglas que hacen falta:

$\left(a^x\right)'=a^x\cdot\ln a,\qquad \left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}$

Aplicándolas a cada sumando:

$\left(10^x\right)'=10^x\cdot\ln 10$

$\left(x^{10}\right)'=10\,x^{9}$

$f'(x)=10^x\cdot\ln 10+10\,x^{9}$

Nótese que las dos expresiones no hay que confundirlas: en $10^x$ la incógnita está en el exponente y en $x^{10}$ está en la base.

$\textbf{c) Calcule justificadamente } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{1} f'(x)\,dx}\textbf{. [1 punto]}$

No hace falta integrar $f'(x)$ término a término: por definición, una primitiva de $f'(x)$ es la propia $f(x)$. Haciendo uso de la regla de Barrow,

$\int_{0}^{1}f'(x)\,dx=\left[f(x)\right]_{0}^{1}=f(1)-f(0)$

La función está definida en $(0,+\infty)$, así que $f(0)$ hay que entenderlo como el límite calculado en el apartado a), que existe y es finito; por eso la integral tiene sentido.

$f(1)=10^1+1^{10}=10+1=11$

$f(0)=\lim_{x\to 0}f(x)=1$

$\int_{0}^{1}f'(x)\,dx=11-1=10$

Se puede comprobar integrando la expresión del apartado b), que devuelve la misma primitiva.

$\int\left(10^x\ln 10+10x^9\right)dx=\ln 10\cdot\dfrac{10^x}{\ln 10}+10\cdot\dfrac{x^{10}}{10}+C=10^x+x^{10}+C$

$\left[10^x+x^{10}\right]_{0}^{1}=(10+1)-(1+0)=10$

El valor de la integral es 10 unidades de área.