Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Restringidos al dominio $x \in [0, 20]$, considere las tres funciones siguientes:

$f(x) = x(10 - x), \qquad g(x) = 125 - 20x, \qquad h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } 0 \le x \le 15, \\ g(x) & \text{si } 15 < x \le 20. \end{cases}$

a) ¿Para qué valores de $x$ se tiene que $f(x) = g(x)$? ¿Para qué valores de $x$ se tiene que $f'(x) = g'(x)$? [1 punto]

b) Estudie la continuidad de la función $h(x)$. [1 punto]

c) ¿Es la función $h(x)$ derivable? ¿En qué intervalos es creciente? [1 punto]

$\textbf{a) ¿Para qué valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ se tiene que } \boldsymbol{f(x) = g(x)}\textbf{? ¿Para qué valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ se tiene que } \boldsymbol{f'(x) = g'(x)}\textbf{? [1 punto]}$

Para la primera pregunta igualamos las dos funciones y resolvemos la ecuación que resulta.

$f(x)=g(x) \Rightarrow x(10-x)=125-20x$

$10x-x^2=125-20x \Rightarrow -x^2+30x-125=0 \Rightarrow x^2-30x+125=0$

$x=\dfrac{30\pm\sqrt{30^2-4\cdot 125}}{2}=\dfrac{30\pm\sqrt{900-500}}{2}=\dfrac{30\pm 20}{2}$

$\begin{cases} x=\dfrac{30-20}{2}=5 \\ x=\dfrac{30+20}{2}=25 \end{cases}$

Se descarta $x=25$ por no pertenecer al dominio $[0,20]$ al que el enunciado restringe las funciones.

$f(5)=5\cdot(10-5)=25,\qquad g(5)=125-20\cdot 5=25$

Las dos funciones coinciden únicamente en $x=5$, donde ambas valen 25.

Para la segunda pregunta derivamos cada función y volvemos a igualar.

$f(x)=10x-x^2 \Rightarrow f'(x)=10-2x$

$g(x)=125-20x \Rightarrow g'(x)=-20$

$f'(x)=g'(x) \Rightarrow 10-2x=-20 \Rightarrow -2x=-30 \Rightarrow x=15$

Las derivadas coinciden únicamente en $x=15$, que sí pertenece al dominio. Es un dato que conviene retener, porque $x=15$ es justamente el punto en el que la función $h(x)$ cambia de trozo.

$\textbf{b) Estudie la continuidad de la función } \boldsymbol{h(x)}\textbf{. [1 punto]}$

La función $h(x)$ está definida a trozos. En cada trozo por separado no hay ningún problema: $f(x)$ es un polinomio de segundo grado y $g(x)$ es un polinomio de primer grado, y los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$. El único punto dudoso es el empalme, $x=15$.

Para que $h$ sea continua en $x=15$ los dos límites laterales y el valor de la función deben coincidir.

$\lim_{x\to 15^-}h(x)=\lim_{x\to 15^-}f(x)=f(15)=15\cdot(10-15)=15\cdot(-5)=-75$

$\lim_{x\to 15^+}h(x)=\lim_{x\to 15^+}g(x)=g(15)=125-20\cdot 15=125-300=-175$

$\lim_{x\to 15^-}h(x)=-75 \neq -175=\lim_{x\to 15^+}h(x)$

Los límites laterales existen pero son distintos, luego no existe el límite en $x=15$ y la función no es continua ahí. Se trata de una discontinuidad de salto finito, y el salto mide

$|-175-(-75)|=100$

La función $h(x)$ es continua en $[0,15)\cup(15,20]$ y presenta en $x=15$ una discontinuidad de salto finito, de amplitud 100. En ese punto la función toma el valor $h(15)=f(15)=-75$, porque el primer trozo incluye el extremo.



$\textbf{c) ¿Es la función } \boldsymbol{h(x)}\textbf{ derivable? ¿En qué intervalos es creciente? [1 punto]}$

Una función que no es continua en un punto tampoco puede ser derivable en él, así que la respuesta a la primera pregunta ya está decidida por el apartado anterior.

$h(x)\ \text{no es continua en } x=15 \Rightarrow h(x)\ \text{no es derivable en } x=15$

En el resto del dominio $h$ coincide con un polinomio, luego sí es derivable, y su derivada es

$h'(x)= \begin{cases} 10-2x, & 0\leq x<15 \\ -20, & 15<x\leq 20 \end{cases}$

Es curioso que en el apartado a) hayamos obtenido $f'(15)=g'(15)=-20$: las dos ramas llegan al empalme con la misma pendiente, pero eso no salva la derivabilidad, porque la función da un salto y la derivabilidad exige antes la continuidad.

Para la monotonía estudiamos el signo de la derivada. En el segundo trozo la derivada es la constante $-20<0$, y en el primero se anula en un punto.

$h'(x)=0 \Rightarrow 10-2x=0 \Rightarrow x=5$

$\text{Si } x=0,\quad h'(0)=10>0$

$\text{Si } x=10,\quad h'(10)=10-20=-10<0$



La función $h(x)$ es derivable en todo su dominio salvo en $x=15$. Es creciente únicamente en el intervalo $[0,5)$, y decreciente en $(5,15]$ y en $(15,20]$.