Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices cuadradas $A$, $B$, $M$ y $N$ de tamaño $3 \times 3$.

a) Calcule todos los valores de $x$ tales que $A^2 = A$, donde

$A = \begin{pmatrix} 7 & x & 4 \\ 9 & x & 6 \\ -6 & 2 & -3 \end{pmatrix}.$

[1 punto]

b) Encuentre una matriz $B$ invertible tal que $B^2 = B$. [1 punto]

c) Dadas dos matrices $M$ y $N$ invertibles tales que $M^2 = M$ y $N^2 = N$, construimos la matriz siguiente: $C = N \cdot M \cdot N^{-1}$. ¿Es cierto que $C^2 = C$? [1 punto]

$\textbf{a) Calcule todos los valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ tales que } \boldsymbol{A^2 = A}\textbf{, donde } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 7 & x & 4 \\ 9 & x & 6 \\ -6 & 2 & -3 \end{pmatrix}}\textbf{. [1 punto]}$

Calculamos $A^2$ multiplicando la matriz por sí misma.

$A^2= \begin{pmatrix} 7 & x & 4 \\ 9 & x & 6 \\ -6 & 2 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & x & 4 \\ 9 & x & 6 \\ -6 & 2 & -3 \end{pmatrix}$

$A^2= \begin{pmatrix} 49+9x-24 & 7x+x^2+8 & 28+6x-12 \\ 63+9x-36 & 9x+x^2+12 & 36+6x-18 \\ -42+18+18 & -6x+2x-6 & -24+12+9 \end{pmatrix}$

$A^2= \begin{pmatrix} 9x+25 & x^2+7x+8 & 6x+16 \\ 9x+27 & x^2+9x+12 & 6x+18 \\ -6 & -4x-6 & -3 \end{pmatrix}$

Imponemos ahora que esa matriz coincida con $A$ elemento a elemento. Las posiciones $a_{31}$ y $a_{33}$ se cumplen solas, y las demás dan ecuaciones en $x$.

$\begin{cases} 9x+25=7 \Rightarrow 9x=-18 \Rightarrow x=-2 \\ 6x+16=4 \Rightarrow 6x=-12 \Rightarrow x=-2 \\ -4x-6=2 \Rightarrow -4x=8 \Rightarrow x=-2 \end{cases}$

Las posiciones de la segunda columna dan ecuaciones de segundo grado, que hay que resolver aparte.

$x^2+7x+8=x \Rightarrow x^2+6x+8=0 \Rightarrow (x+2)(x+4)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=-2 \\ x=-4 \end{cases}$

$x^2+9x+12=x \Rightarrow x^2+8x+12=0 \Rightarrow (x+2)(x+6)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=-2 \\ x=-6 \end{cases}$

La igualdad $A^2=A$ exige que se cumplan todas las ecuaciones a la vez, y el único valor común a todas ellas es $x=-2$. Se descartan $x=-4$ y $x=-6$ porque no satisfacen las ecuaciones de primer grado.

Comprobamos el resultado.

$A= \begin{pmatrix} 7 & -2 & 4 \\ 9 & -2 & 6 \\ -6 & 2 & -3 \end{pmatrix} \Rightarrow A^2= \begin{pmatrix} 7 & -2 & 4 \\ 9 & -2 & 6 \\ -6 & 2 & -3 \end{pmatrix} =A$

El único valor es $x=-2$.

$\textbf{b) Encuentre una matriz } \boldsymbol{B}\textbf{ invertible tal que } \boldsymbol{B^2 = B}\textbf{. [1 punto]}$

Aquí el dato nuevo es que $B$ es invertible, es decir, que existe $B^{-1}$. Eso permite multiplicar la igualdad por esa inversa y simplificar.

$B^2=B \Rightarrow B^{-1}\cdot B^2=B^{-1}\cdot B$

$B^{-1}\cdot B\cdot B=I \Rightarrow I\cdot B=I \Rightarrow B=I$

Así que no hay elección: la única matriz invertible que cumple $B^2=B$ es la identidad.

$B=I= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow B^2=I\cdot I=I=B$

La matriz pedida es la identidad, $B=I$, y además es la única posible. Nótese que la matriz $A$ del apartado a) también cumplía $A^2=A$ sin ser la identidad, y eso es coherente porque no es invertible: su determinante vale $|A|=0$.

$\textbf{c) Dadas dos matrices } \boldsymbol{M}\textbf{ y } \boldsymbol{N}\textbf{ invertibles tales que } \boldsymbol{M^2 = M}\textbf{ y } \boldsymbol{N^2 = N}\textbf{, construimos la matriz siguiente: } \boldsymbol{C = N \cdot M \cdot N^{-1}}\textbf{. ¿Es cierto que } \boldsymbol{C^2 = C}\textbf{? [1 punto]}$

Elevamos al cuadrado la expresión de $C$ y aprovechamos que el producto de matrices es asociativo.

$C^2=C\cdot C=\left(N\cdot M\cdot N^{-1}\right)\cdot\left(N\cdot M\cdot N^{-1}\right)$

$C^2=N\cdot M\cdot\left(N^{-1}\cdot N\right)\cdot M\cdot N^{-1}=N\cdot M\cdot I\cdot M\cdot N^{-1}$

$C^2=N\cdot M^2\cdot N^{-1}$

Y aquí se usa la hipótesis sobre $M$.

$M^2=M \Rightarrow C^2=N\cdot M\cdot N^{-1}=C$

Sí, es cierto: $C^2=C$. El razonamiento solo ha necesitado que $M^2=M$ y que $N$ sea invertible; la hipótesis $N^2=N$ no hace falta, y de hecho por el apartado b) obliga a que $N=I$, con lo que $C=M$ y la igualdad es todavía más evidente.