Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En una fábrica textil fabricamos vestidos, camisetas y faldas.

— Cada vestido requiere 5 $\text{m}^2$ de tejido y 5 botones.

— Cada camiseta requiere 4 $\text{m}^2$ de tejido y 3 botones.

— Cada falda requiere 4 $\text{m}^2$ de tejido y ningún botón.

a) Si queremos fabricar 10 vestidos, 15 camisetas y 20 faldas, ¿cuántos $\text{m}^2$ de tejido y cuántos botones necesitamos? [0,5 puntos]

b) Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente:

$\begin{pmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 5 & 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 120 \end{pmatrix}.$

[1,5 puntos]

c) Si disponemos de 100 $\text{m}^2$ de tejido y 120 botones, ¿podemos utilizar completamente los recursos fabricando productos? [1 punto]

$\textbf{a) Si queremos fabricar 10 vestidos, 15 camisetas y 20 faldas, ¿cuántos } \boldsymbol{\text{m}^2}\textbf{ de tejido y cuántos botones necesitamos? [0,5 puntos]}$

Ordenamos primero el consumo de cada prenda en una tabla.

$$	$\text{Tejido (m}^2)$	$\text{Botones}$ Vestidos	5	5 Camisetas	4	3 Faldas	4	0

Basta multiplicar el número de prendas de cada clase por lo que consume cada una y sumar.

$\text{Tejido}=10\cdot 5+15\cdot 4+20\cdot 4=50+60+80=190 \ \text{m}^2$

$\text{Botones}=10\cdot 5+15\cdot 3+20\cdot 0=50+45+0=95 \ \text{botones}$

Para fabricar 10 vestidos, 15 camisetas y 20 faldas se necesitan 190 m² de tejido y 95 botones.

$\textbf{b) Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente: } \boldsymbol{\begin{pmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 5 & 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 120 \end{pmatrix}}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Desarrollamos el producto de matrices para escribir el sistema en la forma habitual.

$\begin{cases} 5x+4y+4z=100 \\ 5x+3y=120 \end{cases}$

Hay tres incógnitas y solo dos ecuaciones, luego el sistema no puede tener solución única. Se resuelve por reducción: restamos la segunda ecuación de la primera para eliminar $x$.

$(5x+4y+4z)-(5x+3y)=100-120 \Rightarrow y+4z=-20$

$y=-20-4z$

Sustituimos en la segunda ecuación y despejamos $x$.

$5x+3(-20-4z)=120 \Rightarrow 5x-60-12z=120 \Rightarrow 5x=180+12z$

$x=36+\dfrac{12z}{5}$

La incógnita $z$ queda libre. Llamándola $z=\lambda$, la solución del sistema es

$\begin{cases} x=36+\dfrac{12\lambda}{5} \\ y=-20-4\lambda \\ z=\lambda \end{cases} \qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Se trata de un sistema compatible indeterminado con un grado de libertad: hay infinitas soluciones, una por cada valor de $\lambda$. Comprobamos, por ejemplo, con $\lambda=0$, que da $(36,-20,0)$:

$5\cdot 36+4\cdot(-20)+4\cdot 0=180-80=100$ y $5\cdot 36+3\cdot(-20)=180-60=120$.

$\textbf{c) Si disponemos de 100 } \boldsymbol{\text{m}^2}\textbf{ de tejido y 120 botones, ¿podemos utilizar completamente los recursos fabricando productos? [1 punto]}$

Si $x$, $y$ y $z$ son el número de vestidos, camisetas y faldas que se fabrican, agotar los recursos es exactamente el sistema del apartado b): el tejido consumido, $5x+4y+4z$, debe ser 100 m², y los botones consumidos, $5x+3y$, deben ser 120.

El sistema tiene infinitas soluciones, pero no todas sirven: el número de prendas de cada clase tiene que ser un número entero mayor o igual que cero. Miramos la segunda coordenada de la solución general.

$y=-20-4\lambda \quad\text{con}\quad \lambda=z\geq 0$

$z\geq 0 \Rightarrow -4z\leq 0 \Rightarrow y=-20-4z\leq -20<0$

Sea cual sea el número de faldas que se fabriquen, el número de camisetas sale negativo, y eso no tiene sentido. Por tanto, no existe ninguna solución válida.

No se pueden aprovechar completamente los recursos: con 100 m² de tejido y 120 botones el sistema exige fabricar un número negativo de camisetas. El motivo es que los 120 botones obligan a producir muchos vestidos y camisetas, que son las prendas que llevan botones, y esas prendas por sí solas ya consumirían más de los 100 m² de tejido disponibles.