Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Supongamos que, cuando un cliente entra en una tienda de electrodomésticos, el tiempo que pasa dentro viene dado por una variable aleatoria $X$ que sigue una distribución normal de media poblacional $\mu = 15$ minutos y desviación típica $\sigma = 10$ minutos: $X \sim N(15,\ 10)$.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente esté dentro de la tienda 25 minutos o menos? [1 punto]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente esté dentro de la tienda entre 5 y 25 minutos? [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente esté dentro de la tienda 25 minutos o menos? [1 punto]}$

La variable $X$ sigue una distribución $N(15,10)$, que no es la normal estándar, de manera que hay que tipificar antes de acudir a la tabla.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-15}{10} \Rightarrow Z\sim N(0,1)$

$P(X\leq 25)=P\left(Z\leq \dfrac{25-15}{10}\right)=P(Z\leq 1)$

Se busca directamente en la tabla de la $N(0,1)$.

$P(Z\leq 1)=0{,}8413$

La probabilidad de que un cliente esté dentro de la tienda 25 minutos o menos es de $0{,}8413$, es decir, un 84,13 %.



$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente esté dentro de la tienda entre 5 y 25 minutos? [1 punto]}$

Se tipifican los dos extremos del intervalo.

$P(5\leq X\leq 25)=P\left(\dfrac{5-15}{10}\leq Z\leq \dfrac{25-15}{10}\right)=P(-1\leq Z\leq 1)$

La probabilidad de un intervalo es la diferencia de las probabilidades acumuladas en sus extremos.

$P(-1\leq Z\leq 1)=P(Z\leq 1)-P(Z\leq -1)$

La tabla solo da valores positivos de $z$, así que para el extremo negativo se usa la simetría de la campana respecto del eje $z=0$.

$P(Z\leq -1)=1-P(Z\leq 1)=1-0{,}8413=0{,}1587$

$P(-1\leq Z\leq 1)=0{,}8413-0{,}1587=0{,}6826$

La probabilidad de que un cliente esté dentro de la tienda entre 5 y 25 minutos es de $0{,}6826$, es decir, un 68,26 %. Es el conocido resultado de que en una distribución normal algo más de dos tercios de los casos caen a menos de una desviación típica de la media.