Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Dados dos sucesos, $A$ y $B$, de un experimento aleatorio, sabemos que $P(A) = 0{,}5$, que $P(B) = 0{,}1$ y que $P(A \mid B) = x$, donde $x \in [0, 1]$. Se pide:

a) ¿Existe algún valor de $x$ para el cual los sucesos sean independientes? [1 punto]

b) ¿Para qué valor de $x$ se tiene que la probabilidad de $A \cap B$ es máxima? [1 punto]

$\textbf{a) ¿Existe algún valor de } \boldsymbol{x}\textbf{ para el cual los sucesos sean independientes? [1 punto]}$

Dos sucesos son independientes cuando el hecho de saber que uno ha ocurrido no cambia la probabilidad del otro, es decir, cuando la probabilidad condicionada coincide con la probabilidad a secas.

$A \text{ y } B \text{ independientes} \iff P(A \mid B)=P(A)$

Como el enunciado nos dice que $P(A \mid B)=x$ y que $P(A)=0{,}5$, la condición se traduce en una igualdad inmediata.

$x=P(A \mid B)=P(A)=0{,}5$

El valor $x=0{,}5$ pertenece al intervalo $[0,1]$, luego es admisible. Comprobamos que con él se cumple también la otra forma de la condición de independencia.

$P(A \cap B)=P(A \mid B)\cdot P(B)=0{,}5\cdot 0{,}1=0{,}05$

$P(A)\cdot P(B)=0{,}5\cdot 0{,}1=0{,}05=P(A \cap B)$

Sí existe: para $x=0{,}5$ los sucesos $A$ y $B$ son independientes.

$\textbf{b) ¿Para qué valor de } \boldsymbol{x}\textbf{ se tiene que la probabilidad de } \boldsymbol{A \cap B}\textbf{ es máxima? [1 punto]}$

Escribimos la probabilidad de la intersección a partir de la definición de probabilidad condicionada.

$P(A \mid B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \Rightarrow P(A \cap B)=P(A \mid B)\cdot P(B)$

$P(A \cap B)=x\cdot 0{,}1=0{,}1x$

La probabilidad de la intersección es una función lineal de $x$ con pendiente positiva, así que crece cuando crece $x$ y alcanza su máximo en el extremo derecho del intervalo en el que se mueve la incógnita.

$x\in[0,1] \Rightarrow \text{el máximo se da en } x=1$

$P(A \cap B)=0{,}1\cdot 1=0{,}1$

Ese valor es coherente: $P(A \mid B)=1$ significa que siempre que ocurre $B$ ocurre también $A$, o sea que $B\subset A$, y entonces $A \cap B=B$. Puede pasar porque $P(B)=0{,}1\leq 0{,}5=P(A)$.

$A \cap B=B \Rightarrow P(A \cap B)=P(B)=0{,}1$

La probabilidad de $A \cap B$ es máxima para $x=1$, y ese máximo vale 0,1. Nunca puede ser mayor, porque la intersección está contenida en $B$.