Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

Considere la función $f(x) = x^3 - 3x^2$, para $x \in [-1, \infty)$.

a) Haga una gráfica esquemática de la función $f(x)$. Calcule o justifique e indique sobre la gráfica el valor de la función en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos y absolutos. [2 puntos]

b) Sobre la misma gráfica, trace la recta tangente a la función en el punto $x = 1$. ¿Cuál es el valor de su pendiente? [1 punto]

$\textbf{a) Haga una gráfica esquemática de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. Calcule o justifique e indique sobre la gráfica el valor de la función en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos y absolutos. [2 puntos]}$

Se sigue el orden habitual: extremos del dominio, puntos de corte, monotonía y, con todo ello, la representación gráfica.

El dominio está dado en el enunciado, $[-1,\infty)$. El extremo izquierdo es un punto del dominio y ahí la función se evalúa directamente.

$f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2=-1-3=-4$

Por la derecha el dominio no está acotado, así que hay que calcular el límite. En un polinomio manda el término de mayor grado.

$\lim_{x\to+\infty}\left(x^3-3x^2\right)=\lim_{x\to+\infty}x^3\left(1-\dfrac{3}{x}\right)=+\infty$

Los puntos de corte con el eje de abscisas se obtienen sacando factor común.

$f(x)=0 \Rightarrow x^3-3x^2=0 \Rightarrow x^2(x-3)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=3 \end{cases}$

Para estudiar la monotonía derivamos la función y buscamos los puntos críticos.

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

$f'(x)=0 \Rightarrow 3x(x-2)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=2 \end{cases}$

Los dos puntos críticos pertenecen al dominio y lo parten en tres tramos. Se hace un estudio de signos de la derivada tomando un valor de prueba en cada uno.

$\text{Si } x=-0{,}5,\quad f'(-0{,}5)=3(-0{,}5)(-2{,}5)=3{,}75>0$

$\text{Si } x=1,\quad f'(1)=3\cdot 1\cdot(-1)=-3<0$

$\text{Si } x=3,\quad f'(3)=3\cdot 3\cdot 1=9>0$



Por tanto, la función crece en $[-1,0)$, decrece en $(0,2)$ y vuelve a crecer en $(2,+\infty)$.

En $x=0$ la función pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo, y en $x=2$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo. Calculamos las ordenadas.

$f(0)=0^3-3\cdot 0^2=0$

$f(2)=2^3-3\cdot 2^2=8-12=-4$

El máximo relativo es el punto $(0,0)$ y el mínimo relativo es el punto $(2,-4)$.

Para los extremos absolutos se comparan los valores de la función en los puntos críticos y en el extremo del dominio, y se tiene en cuenta el límite en el infinito.

$f(-1)=-4,\qquad f(0)=0,\qquad f(2)=-4,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

El menor de esos valores es $-4$, y se alcanza en dos puntos distintos: en el extremo del dominio $x=-1$ y en el mínimo relativo $x=2$. Como la función tiende a $+\infty$, no hay máximo absoluto.

El mínimo absoluto vale $-4$ y se alcanza en $x=-1$ y en $x=2$; la función no tiene máximo absoluto, y el máximo relativo del punto $(0,0)$ no lo es porque la función supera ese valor a partir de $x=3$.



$\textbf{b) Sobre la misma gráfica, trace la recta tangente a la función en el punto } \boldsymbol{x = 1}\textbf{. ¿Cuál es el valor de su pendiente? [1 punto]}$

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada en ese punto.

$m=f'(1)=3\cdot 1^2-6\cdot 1=3-6=-3$

Para trazarla hace falta también el punto de tangencia.

$f(1)=1^3-3\cdot 1^2=1-3=-2$

Escribimos la recta en la forma punto-pendiente y la desarrollamos.

$y-f(1)=f'(1)(x-1) \Rightarrow y+2=-3(x-1)$

$y=-3x+3-2 \Rightarrow y=-3x+1$

La pendiente de la recta tangente en $x=1$ vale $-3$. Es negativa, como tenía que ser, porque $x=1$ está en el tramo en el que la función decrece.