Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Para organizar un evento social, queremos contratar el transporte con una empresa que nos ofrece autocares y minibuses.

— Cada autocar tiene una capacidad de 50 viajeros y un precio de 100 €.

— Cada minibús tiene una capacidad de 30 viajeros y un precio de 55 €.

Podemos contratar tantos autocares como queramos, y hasta 8 minibuses. Por limitaciones en el número de conductores, solo podemos contratar 11 vehículos. Si queremos asegurar el transporte para al menos 450 personas, ¿cuál es la combinación más ventajosa y qué coste tiene? [3 puntos]

$\textbf{Podemos contratar tantos autocares como queramos, y hasta 8 minibuses. Por limitaciones en el número de conductores, solo podemos contratar 11 vehículos. Si queremos asegurar el transporte para al menos 450 personas, ¿cuál es la combinación más ventajosa y qué coste tiene? [3 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de autocares que se contratan e $y$ al número de minibuses.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado.

$$	$\text{Plazas}$	$\text{Coste (€)}$ $\text{Autocares } (x)$	$50x$	$100x$ $\text{Minibuses } (y)$	$30y$	$55y$ $\text{Totales}$	$50x+30y$	$100x+55y$

La función objetivo es el coste del transporte, y como se busca la combinación más ventajosa hay que minimizarla.

$C(x,y)=100x+55y$

Escribimos ahora las restricciones.

Hay que transportar al menos 450 personas $\Rightarrow$ $50x+30y\geq 450$, que dividiendo entre 10 queda $5x+3y\geq 45$.

Se pueden contratar hasta 8 minibuses $\Rightarrow$ $y\leq 8$.

Solo se pueden contratar 11 vehículos en total $\Rightarrow$ $x+y\leq 11$.

El número de vehículos de cada clase no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 5x+3y\geq 45 \\ x+y\leq 11 \\ y\leq 8 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan y hacemos una tabla de valores de cada una.

$5x+3y=45 \Rightarrow y=\dfrac{45-5x}{3}$

$x+y=11 \Rightarrow y=11-x$

$5x+3y=45$	$x+y=11$ $(9,0)$	$(11,0)$ $(6,5)$	$(6,5)$

La recta $y=8$ es horizontal y no llega a cortar el recinto, porque con 8 minibuses y los autocares que caben dentro del límite de 11 vehículos no se alcanzan las 450 plazas. La región factible es la zona coloreada en azul, y es un triángulo.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$:

$\begin{cases} 5x+3y=45 \\ x+y=11 \end{cases}$ $\Rightarrow$ despejamos $y=11-x$ y sustituimos:

$5x+3(11-x)=45 \Rightarrow 2x+33=45 \Rightarrow 2x=12 \Rightarrow x=6$

$y=11-6=5 \Rightarrow A(6,5)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} 5x+3y=45 \\ y=0 \end{cases}$ $\Rightarrow 5x=45 \Rightarrow x=9 \Rightarrow B(9,0)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x+y=11 \\ y=0 \end{cases}$ $\Rightarrow x=11 \Rightarrow C(11,0)$

Valoramos la función coste en cada uno de los vértices en busca del coste mínimo.

$A(6,5) \Rightarrow C(6,5)=100\cdot 6+55\cdot 5=600+275=875$

$B(9,0) \Rightarrow C(9,0)=100\cdot 9=900$

$C(11,0) \Rightarrow C(11,0)=100\cdot 11=1100$

El coste mínimo se alcanza en el vértice $A(6,5)$. Comprobamos que esa combinación cumple todas las restricciones:

$50\cdot 6+30\cdot 5=300+150=450\geq 450$ plazas, $6+5=11\leq 11$ vehículos y $5\leq 8$ minibuses.

La combinación más ventajosa es contratar 6 autocares y 5 minibuses, con lo que se cubren exactamente las 450 plazas necesarias, y su coste es de 875 €.