Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -5 & -3 & 4 \end{pmatrix}, \qquad v = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}.$

a) ¿Es cierto que $A = B^{-1}$? ¿Es cierto que $B = A^{-1}$? [1 punto]

b) Calcule $x$ tal que $Ax = v$. [1 punto]

c) Con el valor de $x$ del apartado anterior, calcule $y$ tal que $B^2 y = x$. [1 punto]

$\textbf{a) ¿Es cierto que } \boldsymbol{A = B^{-1}}\textbf{? ¿Es cierto que } \boldsymbol{B = A^{-1}}\textbf{? [1 punto]}$

Dos matrices cuadradas son inversas una de la otra cuando su producto es la matriz identidad. Basta entonces multiplicar $A$ por $B$ y comprobar el resultado.

$A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -5 & -3 & 4 \end{pmatrix}$

$A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5+0-5 & 0+4-3 & 0-4+4 \\ 5+0-5 & 0+3-3 & 0-3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =I$

El producto en el otro orden da lo mismo.

$B\cdot A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -5 & -3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =I$

Como $A\cdot B=B\cdot A=I$, las dos afirmaciones son ciertas: $A$ es la inversa de $B$ y $B$ es la inversa de $A$. La relación de inversa es recíproca, de manera que en cuanto una de las dos igualdades se cumple la otra también.

$A=B^{-1} \quad\text{y}\quad B=A^{-1}$

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{x}\textbf{ tal que } \boldsymbol{Ax = v}\textbf{. [1 punto]}$

Se despeja $x$ multiplicando por la izquierda por la inversa de $A$, que por el apartado anterior ya la tenemos: es $B$.

$Ax=v \Rightarrow A^{-1}Ax=A^{-1}v \Rightarrow x=A^{-1}v=B\,v$

$x= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -5 & -3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1-5 \\ -5+3+20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \\ 18 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida.

$A\,x= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \\ 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5-24+18 \\ 5-18+18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} =v$

La solución es el vector $x=(1,-6,18)$.

$\textbf{c) Con el valor de } \boldsymbol{x}\textbf{ del apartado anterior, calcule } \boldsymbol{y}\textbf{ tal que } \boldsymbol{B^2 y = x}\textbf{. [1 punto]}$

Se despeja igual que antes. La inversa de $B^2$ no hace falta calcularla desde cero: como $B^{-1}=A$, se tiene $\left(B^2\right)^{-1}=\left(B^{-1}\right)^2=A^2$.

$B^2y=x \Rightarrow y=\left(B^2\right)^{-1}x=A^2x$

Calculamos primero $A^2$.

$A^2= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5+20+5 & 16+3 & 4+1 \\ 5+15+5 & 12+3 & 3+1 \end{pmatrix}$

$A^2= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 30 & 19 & 5 \\ 25 & 15 & 4 \end{pmatrix}$

Ahora se multiplica por el vector $x$ del apartado b).

$y=A^2x= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 30 & 19 & 5 \\ 25 & 15 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \\ 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 30-114+90 \\ 25-90+72 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}$

Se comprueba calculando $B^2$ y multiplicando.

$B^2= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & -5 \\ -25 & -15 & 19 \end{pmatrix} \Rightarrow B^2y= \begin{pmatrix} 1 \\ 5+24-35 \\ -25-90+133 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \\ 18 \end{pmatrix} =x$

La solución es el vector $y=(1,6,7)$.