Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Después de una formación académica determinada, el tiempo que tardan los titulados en encontrar trabajo lo podemos aproximar mediante una variable aleatoria $X$ que sigue una distribución normal de media poblacional $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma = 30$ días. Respecto de los 22 titulados de este año, el número medio de días que han tardado en encontrar trabajo ha sido de 86.

Calcule un intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ con un nivel de confianza del 80 %. [2 puntos]

$\textbf{Calcule un intervalo de confianza para la media poblacional } \boldsymbol{\mu}\textbf{ con un nivel de confianza del 80 \%. [2 puntos]}$

La variable $X$ que mide los días que tarda un titulado en encontrar trabajo sigue una distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica conocida $\sigma=30$ días. Para estimar $\mu$ se utiliza la media de la muestra, que en muestras de tamaño $n$ se distribuye así:

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{30}{\sqrt{22}}\approx 6{,}3960 \ \text{días}$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Buscamos el valor crítico. Un nivel de confianza del 80 % significa que fuera del intervalo queda el 20 %, repartido a partes iguales entre las dos colas.

$1-\alpha=0{,}80 \Rightarrow \alpha=0{,}20 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}10$

$P\left(Z\leq z_{\alpha/2}\right)=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}90$

En la tabla de la distribución $N(0,1)$ se busca el valor 0,90 dentro del cuerpo de la tabla y se lee el $z$ correspondiente.

$z$	$P(Z\leq z)$ 1,27	0,8980 1,28	0,8997 1,29	0,9015

El valor más próximo a 0,90 es 0,8997, así que tomamos $z_{\alpha/2}=1{,}28$.

Calculamos el error máximo admisible.

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}28\cdot\dfrac{30}{\sqrt{22}}=1{,}28\cdot 6{,}3960$

$E\approx 8{,}19 \ \text{días}$

Sustituimos la media de la muestra, $\overline{x}=86$ días.

$IC=(86-8{,}19,\ 86+8{,}19)=(77{,}81,\ 94{,}19)$

Con una confianza del 80 %, la media poblacional del tiempo que tardan los titulados en encontrar trabajo está entre 77,81 y 94,19 días.