Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

El Instituto Nacional de Estadística (INE) dispone de los datos, para el año 2023, sobre la cantidad de habitantes totales y la cantidad de trabajadores por nacionalidad y sexo en España, que son los siguientes:

Cantidad de habitantes total	Españoles	Extranjeros Hombres	20,6 millones	3,0 millones Mujeres	21,2 millones	3,3 millones

Cantidad de trabajadores	Españoles	Extranjeros Hombres	10,8 millones	1,9 millones Mujeres	9,6 millones	1,7 millones

a) Escogiendo un hombre al azar, ¿cuál es la probabilidad de que trabaje? [1 punto]

b) Escogiendo un individuo al azar, ¿son independientes los sucesos «ser mujer» y «trabajar»? [1 punto]

$\textbf{a) Escogiendo un hombre al azar, ¿cuál es la probabilidad de que trabaje? [1 punto]}$

Empezamos completando las dos tablas con los totales por filas y por columnas, que son los que hacen falta para calcular las probabilidades. Las cantidades están en millones de personas.

$\text{Habitantes}$	$\text{Españoles}$	$\text{Extranjeros}$	$\text{Total}$ Hombres	20,6	3,0	23,6 Mujeres	21,2	3,3	24,5 Total	41,8	6,3	48,1

$\text{Trabajadores}$	$\text{Españoles}$	$\text{Extranjeros}$	$\text{Total}$ Hombres	10,8	1,9	12,7 Mujeres	9,6	1,7	11,3 Total	20,4	3,6	24,0

Llamamos $H$ al suceso «ser hombre», $M$ al suceso «ser mujer» y $T$ al suceso «trabajar».

Se escoge un hombre, de modo que la población de referencia ya no son todos los habitantes, sino solo los 23,6 millones de hombres. Se trata de una probabilidad condicionada.

$P(T \mid H)=\dfrac{n(T \cap H)}{n(H)}=\dfrac{12{,}7}{23{,}6}$

$P(T \mid H)=\dfrac{127}{236}\approx 0{,}5381$

Escogiendo un hombre al azar, la probabilidad de que trabaje es de $0{,}5381$, es decir, un 53,81 %.

$\textbf{b) Escogiendo un individuo al azar, ¿son independientes los sucesos «ser mujer» y «trabajar»? [1 punto]}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades.

$M \text{ y } T \text{ independientes} \iff P(M \cap T)=P(M)\cdot P(T)$

Calculamos las tres probabilidades sobre el total de 48,1 millones de habitantes.

$P(M)=\dfrac{24{,}5}{48{,}1}=\dfrac{245}{481}\approx 0{,}5094$

$P(T)=\dfrac{24{,}0}{48{,}1}=\dfrac{240}{481}\approx 0{,}4990$

$P(M \cap T)=\dfrac{11{,}3}{48{,}1}=\dfrac{113}{481}\approx 0{,}2349$

Comparamos ahora los dos miembros de la condición de independencia.

$P(M)\cdot P(T)=\dfrac{245}{481}\cdot\dfrac{240}{481}=\dfrac{58\,800}{231\,361}\approx 0{,}2541$

$P(M \cap T)\approx 0{,}2349 \neq 0{,}2541 \approx P(M)\cdot P(T)$

Los dos valores no coinciden, luego los sucesos no son independientes. Se ve igual de bien comparando la probabilidad condicionada con la probabilidad a secas.

$P(T \mid M)=\dfrac{11{,}3}{24{,}5}=\dfrac{113}{245}\approx 0{,}4612 \neq 0{,}4990 \approx P(T)$

Los sucesos «ser mujer» y «trabajar» no son independientes: saber que la persona escogida es una mujer rebaja la probabilidad de que trabaje del 49,90 % al 46,12 %.