Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

En la lotería de Navidad, el número ganador del gordo es un único número de 5 cifras. Todos los números tienen la misma probabilidad de resultar ganadores. Considere los sucesos siguientes:

— $A$: el número ganador de la Navidad de 2025 será el 00000.

— $B$: el número ganador de la Navidad de 2025 será el 72480.

— $C$: el número ganador de la Navidad de 2026 será el 72480.

a) Exprese, con sus propias palabras, qué quieren decir los dos términos siguientes: $P(C \mid B)$ y $P(A \cap B)$. [1 punto]

b) Calcule $P(C \mid B)$ y $P(A \cap B)$. [1 punto]

$\textbf{a) Exprese, con sus propias palabras, qué quieren decir los dos términos siguientes: } \boldsymbol{P(C \mid B)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A \cap B)}\textbf{. [1 punto]}$

Antes de interpretar nada conviene fijar el espacio muestral. El número premiado tiene cinco cifras, de modo que los resultados posibles son todos los números del 00000 al 99999.

$n(E)=10^5=100\,000$

Como todos los números tienen la misma probabilidad de resultar ganadores, la probabilidad de que salga un número concreto es la misma para todos ellos.

$P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{100\,000}=0{,}00001$

El término $P(C \mid B)$ es una probabilidad condicionada: mide la probabilidad de que el número ganador de la Navidad de 2026 sea el 72480 cuando ya se sabe que el número ganador de la Navidad de 2025 ha sido el 72480. Es decir, la probabilidad de que el 72480 vuelva a salir premiado al año siguiente sabiendo que ha salido este año.

El término $P(A \cap B)$ es la probabilidad de la intersección de los dos sucesos: mide la probabilidad de que ocurran los dos a la vez, esto es, la probabilidad de que el número ganador de la Navidad de 2025 sea el 00000 y, simultáneamente, sea el 72480.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{P(C \mid B)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A \cap B)}\textbf{. [1 punto]}$

Los sucesos $B$ y $C$ se refieren a dos sorteos distintos, el de 2025 y el de 2026. Lo que salga en un sorteo no cambia las probabilidades del siguiente, así que $B$ y $C$ son independientes y la condición no aporta información.

$P(C \mid B)=P(C)=\dfrac{1}{100\,000}=0{,}00001$

Los sucesos $A$ y $B$, en cambio, se refieren al mismo sorteo, el de 2025, y en ese sorteo hay un único número ganador. Un número no puede ser a la vez el 00000 y el 72480, luego $A$ y $B$ son incompatibles.

$A \cap B=\varnothing \Rightarrow P(A \cap B)=0$

La probabilidad de que el 72480 sea premiado en 2026 sabiendo que lo ha sido en 2025 sigue siendo una entre cien mil, y la probabilidad de que el número premiado de 2025 sea a la vez el 00000 y el 72480 es nula, porque son sucesos incompatibles.