Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

El peso de un grupo de personas sigue una distribución normal de media 54,3 kg y desviación típica de 6,5 kg.

a) ¿Cuál es el porcentaje de personas con peso superior a 57 kg? [3 puntos]

b) ¿Qué porcentaje de personas pesan entre 50 y 57 kg? [4 puntos]

c) Si se escoge una persona al azar que está dentro del 70 % de las personas que menos pesan, ¿cuántos kilos habría de pesar como máximo? [3 puntos]

Llamamos $X$ al peso de una persona del grupo, en kilogramos.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(54{,}3;\ 6{,}5)$

$\textbf{a) ¿Cuál es el porcentaje de personas con peso superior a 57 kg? [3 puntos]}$

Tipificamos y pasamos al complementario, porque la tabla da probabilidades acumuladas por la izquierda.

$Z=\dfrac{X-54{,}3}{6{,}5}\sim N(0,1)$

$P(X>57)=P\left(Z>\dfrac{57-54{,}3}{6{,}5}\right)=P(Z>0{,}42)$

$P(Z>0{,}42)=1-\Phi(0{,}42)=1-0{,}6628=0{,}3372$

El $33{,}72\%$ de las personas pesa más de 57 kg.

$\textbf{b) ¿Qué porcentaje de personas pesan entre 50 y 57 kg? [4 puntos]}$

Tipificamos los dos extremos y restamos las probabilidades acumuladas.

$P(50<X<57)=P\left(\dfrac{50-54{,}3}{6{,}5}<Z<\dfrac{57-54{,}3}{6{,}5}\right)=P(-0{,}66<Z<0{,}42)$

El extremo negativo se lleva al semieje positivo por la simetría de la campana:

$\Phi(-0{,}66)=1-\Phi(0{,}66)=1-0{,}7454=0{,}2546$

$P(-0{,}66<Z<0{,}42)=0{,}6628-0{,}2546=0{,}4082$

El $40{,}82\%$ de las personas pesa entre 50 y 57 kg.



$\textbf{c) Si se escoge una persona al azar que está dentro del 70 \% de las personas que menos pesan, ¿cuántos kilos habría de pesar como máximo? [3 puntos]}$

Se busca el valor que deja por debajo el 70 % de la población, es decir, el problema inverso: se conoce la probabilidad y se busca el peso.

$P(X<k)=0{,}70\Rightarrow \Phi\left(\dfrac{k-54{,}3}{6{,}5}\right)=0{,}70$

Buscamos en la tabla el valor tipificado que deja acumulado $0{,}70$:

$\Phi(z_0)=0{,}70\Rightarrow z_0\approx 0{,}52$

$\dfrac{k-54{,}3}{6{,}5}=0{,}52\Rightarrow k=54{,}3+0{,}52\cdot 6{,}5=54{,}3+3{,}38$

$k=57{,}68$

Una persona del $70\%$ que menos pesa habría de pesar como máximo $57{,}68\ \text{kg}$.