Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dados los planos

$\text{(I) } 3x - ay + 2z - (a - 1) = 0, \qquad \text{(II) } 2x - 5y + 3z - 1 = 0, \qquad \text{(III) } x + 3y - (a - 1)z = 0,$

a) Demuestre que, para cualquier valor del parámetro $a$, no hay ninguna pareja de ellos que sean paralelos. [4 puntos]

b) Estudie su posición relativa, según los diferentes valores del parámetro $a$. [6 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que, para cualquier valor del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{, no hay ninguna pareja de ellos que sean paralelos. [4 puntos]}$

Dos planos son paralelos o coincidentes cuando sus vectores normales son proporcionales, es decir, cuando su producto vectorial se anula. Basta comprobar que ninguno de los tres productos vectoriales puede ser el vector nulo.

$\vec n_1=(3,-a,2),\qquad \vec n_2=(2,-5,3),\qquad \vec n_3=(1,3,-(a-1))$

$\vec n_1\times\vec n_2=(10-3a,\ -5,\ 2a-15)$

La segunda componente vale $-5$ sea cual sea $a$, de modo que el producto nunca es nulo: (I) y (II) no son paralelos para ningún valor del parámetro.

$\vec n_2\times\vec n_3=(5a-14,\ 2a+1,\ 11)$

La tercera componente vale $11$ siempre, así que tampoco se anula: (II) y (III) nunca son paralelos.

$\vec n_1\times\vec n_3=(a^2-a-6,\ 3a-1,\ a+9)$

Aquí las tres componentes dependen de $a$, pero tendrían que anularse a la vez:

$a^2-a-6=0\Rightarrow a=3\ \text{o}\ a=-2;\qquad 3a-1=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{3};\qquad a+9=0\Rightarrow a=-9$

No hay ningún valor común a las tres condiciones, luego (I) y (III) tampoco son nunca paralelos.

Queda demostrado que, para cualquier valor de $a$, no hay ninguna pareja de planos paralelos: los tres se cortan dos a dos en sendas rectas.

$\textbf{b) Estudie su posición relativa, según los diferentes valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{. [6 puntos]}$

Los tres planos forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que discutimos con el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\begin{pmatrix}3&-a&2\\ 2&-5&3\\ 1&3&-(a-1)\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}3&-a&2&a-1\\ 2&-5&3&1\\ 1&3&-(a-1)&0\end{array}\right)$

$|A|=-2(a-5)(a-2)$

$|A|=0\Rightarrow a=2\ \text{o}\ a=5$

Si $a\neq 2$ y $a\neq 5$:

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado y los tres planos se cortan en un único punto.

Si $a=2$, el determinante se anula pero queda el menor

$\begin{vmatrix}3&-2\\ 2&-5\end{vmatrix}=-15+4=-11\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

y al orlarlo con la columna de términos independientes se obtiene también rango 2 en la ampliada:

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=2<3$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad: los tres planos se cortan en una recta común, es decir, forman un haz.

Si $a=5$, el rango de la matriz de coeficientes sigue valiendo 2, pero el de la ampliada sube a 3:

$\operatorname{rg}(A)=2\neq 3=\operatorname{rg}(A^{*})$

El sistema es incompatible: no hay ningún punto común a los tres planos. Como por el apartado a) no hay dos paralelos, los tres se cortan dos a dos en tres rectas paralelas distintas, formando lo que se conoce como una superficie prismática.



En resumen: para $a\neq 2$ y $a\neq 5$ los tres planos se cortan en un punto; para $a=2$ se cortan en una recta común; y para $a=5$ forman una superficie prismática, sin ningún punto en común.