Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dadas las rectas

$\text{(I)} \begin{cases} 15x + 12y - 14z = -17, \\ 8x - y - 5z = 23, \end{cases} \qquad \text{(II)} \begin{cases} 9x + 5y - 2z = 5, \\ 24x - 2y - 13z = 67. \end{cases}$

a) Calcule un vector posición y un vector director de cada una. [4 puntos]

b) Calcule la ecuación vectorial de cada una. [2 puntos]

c) Calcule el rango de la matriz formada por los dos vectores directores y el vector diferencia, o vector resta, de los dos vectores posición obtenidos. [2 puntos]

d) A partir de ese rango, deduzca la posición relativa de ambas rectas. [2 puntos]

$\textbf{a) Calcule un vector posición y un vector director de cada una. [4 puntos]}$

Cada recta viene dada como intersección de dos planos, así que su director es el producto vectorial de los dos vectores normales.

$\vec v_{\text{I}}=(15,12,-14)\times(8,-1,-5)=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\15&12&-14\\8&-1&-5\end{vmatrix}=(-74,-37,-111)$

Sacando factor común $-37$, que no cambia la dirección:

$\vec v_{\text{I}}=(2,1,3)$

$\vec v_{\text{II}}=(9,5,-2)\times(24,-2,-13)=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\9&5&-2\\24&-2&-13\end{vmatrix}=(-69,69,-138)$

Sacando factor común $-69$:

$\vec v_{\text{II}}=(1,-1,2)$

Para los vectores posición damos $z=0$ y resolvemos el sistema que queda en cada caso.

$\begin{cases}15x+12y=-17\\ 8x-y=23\end{cases}\Rightarrow y=8x-23\Rightarrow 15x+96x-276=-17\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}$

$P_{\text{I}}\left(\dfrac{7}{3},-\dfrac{13}{3},0\right)$

$\begin{cases}9x+5y=5\\ 24x-2y=67\end{cases}\Rightarrow x=\dfrac{5}{2},\ y=-\dfrac{7}{2}\Rightarrow P_{\text{II}}\left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{7}{2},0\right)$

$\textbf{b) Calcule la ecuación vectorial de cada una. [2 puntos]}$

Con el punto y el director de cada recta:

$\text{(I)}:\ (x,y,z)=\left(\dfrac{7}{3},-\dfrac{13}{3},0\right)+t\,(2,1,3),\quad t\in\mathbb{R}$

$\text{(II)}:\ (x,y,z)=\left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{7}{2},0\right)+s\,(1,-1,2),\quad s\in\mathbb{R}$

$\textbf{c) Calcule el rango de la matriz formada por los dos vectores directores y el vector diferencia, o vector resta, de los dos vectores posición obtenidos. [2 puntos]}$

$\overrightarrow{P_{\text{I}}P_{\text{II}}}=\left(\dfrac{5}{2}-\dfrac{7}{3},\ -\dfrac{7}{2}+\dfrac{13}{3},\ 0\right)=\left(\dfrac{1}{6},\ \dfrac{5}{6},\ 0\right)$

Multiplicamos por 6 para trabajar con enteros, lo que no altera el rango:

$M=\begin{pmatrix}2&1&3\\ 1&-1&2\\ 1&5&0\end{pmatrix}$

$|M|=2(0-10)-1(0-2)+3(5+1)=-20+2+18=0$

El determinante es nulo, así que el rango no llega a 3. Con el menor de las dos primeras filas y columnas:

$\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}=-3\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(M)=2$

$\textbf{d) A partir de ese rango, deduzca la posición relativa de ambas rectas. [2 puntos]}$

El rango 2 dice que los tres vectores son coplanarios, es decir, que las dos rectas están en un mismo plano; y ese mismo rango, restringido a los dos directores, dice que estos son linealmente independientes y por tanto las rectas no son paralelas.

$\operatorname{rg}\left(\vec v_{\text{I}},\vec v_{\text{II}}\right)=2=\operatorname{rg}\left(\vec v_{\text{I}},\vec v_{\text{II}},\overrightarrow{P_{\text{I}}P_{\text{II}}}\right)$

Las dos rectas se cortan en un punto.