Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Considere la función

$f(x) = \dfrac{1}{(x - 3)(x + 3)}.$

a) Determine: el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, las coordenadas de los máximos y mínimos y el $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. [2 puntos]

b) Haga un esbozo de la gráfica. [1 punto]

c) Obtenga los valores de $A$ y $B$ para los cuales

$f(x) = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{B}{x + 3}.$ [3 puntos]

d) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje $OX$ y las rectas de ecuaciones $x = -2$ y $x = 2$. [4 puntos]

$\textbf{a) Determine: el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, las coordenadas de los máximos y mínimos y el } \boldsymbol{\lim_{x \to \pm\infty} f(x)}\textbf{. [2 puntos]}$

El dominio lo marcan los ceros del denominador.

$(x-3)(x+3)=0\Rightarrow x=3,\ x=-3\Rightarrow \text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{-3,3\}$

Derivamos con la regla del cociente, escribiendo antes el denominador desarrollado:

$f(x)=\dfrac{1}{x^2-9}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{-2x}{\left(x^2-9\right)^2}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo en el dominio, así que el signo lo da el numerador:

$-2x>0\Leftrightarrow x<0$

La función es creciente en $(-\infty,-3)\cup(-3,0)$ y decreciente en $(0,3)\cup(3,+\infty)$.

$f'(x)=0\Rightarrow x=0\Rightarrow f(0)=-\dfrac{1}{9}$

Hay un máximo relativo en $\left(0,-\frac{1}{9}\right)$ y ningún mínimo.

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x^2-9}=0$

de modo que $y=0$ es asíntota horizontal, y $x=-3$ y $x=3$ son asíntotas verticales.

$\textbf{b) Haga un esbozo de la gráfica. [1 punto]}$

Con lo anterior, y teniendo en cuenta que la función es par —$f(-x)=f(x)$—, la gráfica tiene tres ramas simétricas respecto del eje de ordenadas: las dos exteriores, positivas, y la central, negativa.



$\textbf{c) Obtenga los valores de } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ para los cuales } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{B}{x + 3}}\textbf{. [3 puntos]}$

Se trata de la descomposición en fracciones simples. Reducimos a común denominador e igualamos los numeradores.

$\dfrac{1}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{A(x+3)+B(x-3)}{(x-3)(x+3)}$

$1=A(x+3)+B(x-3)$

Damos a $x$ los valores que anulan cada paréntesis:

$x=3\Rightarrow 1=6A\Rightarrow A=\dfrac{1}{6}$

$x=-3\Rightarrow 1=-6B\Rightarrow B=-\dfrac{1}{6}$

$\textbf{d) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ y las rectas de ecuaciones } \boldsymbol{x = -2}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 2}\textbf{. [4 puntos]}$

En el intervalo $[-2,2]$ se tiene $x^2-9<0$, de modo que la función es negativa: la integral saldrá con signo menos y el área será su valor absoluto.

$\int f(x)\,dx=\dfrac{1}{6}\ln|x-3|-\dfrac{1}{6}\ln|x+3|+C=\dfrac{1}{6}\ln\left|\dfrac{x-3}{x+3}\right|+C$

$\int_{-2}^{2}f(x)\,dx=\left[\dfrac{1}{6}\ln\left|\dfrac{x-3}{x+3}\right|\right]_{-2}^{2}=\dfrac{1}{6}\ln\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}\ln 5$

$=-\dfrac{1}{6}\ln 5-\dfrac{1}{6}\ln 5=-\dfrac{\ln 5}{3}$

$\mathcal{A}=\left|-\dfrac{\ln 5}{3}\right|=\dfrac{\ln 5}{3}\approx 0{,}5365$

El área de la región es $\dfrac{\ln 5}{3}\approx 0{,}54$ unidades de área.