Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dada la recta $r$ y el plano $\pi$

$r \equiv \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 1}{3} = \dfrac{z + 2}{-1}, \qquad \pi \equiv 3x - my + z = 1,$

se pide si existe algún valor del parámetro $m$ para el cual:

a) el plano y la recta son paralelos. [4 puntos]

b) o bien, el plano contiene a la recta. [3 puntos]

c) o bien, el plano y la recta se cortan exactamente en un punto. [3 puntos]

En cada caso, si existe, calcúlelo.

Empezamos leyendo el vector director de la recta y el normal del plano, porque la posición relativa de ambos depende solo de esos dos vectores.

$\vec v_r=(2,3,-1),\qquad \vec n_{\pi}=(3,-m,1)$

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=6-3m-1=5-3m$

$\textbf{a) el plano y la recta son paralelos. [4 puntos]}$

La recta es paralela al plano cuando su director es perpendicular al normal, es decir, cuando el producto escalar se anula, y además la recta no está contenida en el plano.

$5-3m=0\Rightarrow m=\dfrac{5}{3}$

Comprobamos con el punto $P_r(1,-1,-2)$ de la recta si queda dentro del plano:

$3\cdot 1-\dfrac{5}{3}\cdot(-1)+(-2)=3+\dfrac{5}{3}-2=\dfrac{8}{3}\neq 1$

El punto no pertenece al plano, luego la recta tampoco.

Sí existe: para $m=\frac{5}{3}$ la recta y el plano son paralelos y no tienen ningún punto en común.



$\textbf{b) o bien, el plano contiene a la recta. [3 puntos]}$

Para que el plano contenga a la recta hacen falta dos condiciones: que el director sea perpendicular al normal, lo que obliga a $m=\frac{5}{3}$, y que algún punto de la recta pertenezca al plano.

$m=\dfrac{5}{3}\Rightarrow 3x-\dfrac{5}{3}y+z=\dfrac{8}{3}\neq 1$

La segunda condición falla para el único valor que cumple la primera.

No existe ningún valor de $m$ para el que el plano contenga a la recta.

$\textbf{c) o bien, el plano y la recta se cortan exactamente en un punto. [3 puntos]}$

Una recta y un plano se cortan en un único punto cuando el director de la recta no es perpendicular al normal del plano.

$5-3m\neq 0\Rightarrow m\neq\dfrac{5}{3}$

El plano y la recta se cortan exactamente en un punto para cualquier valor de $m$ distinto de $\frac{5}{3}$.