Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f(x) = \dfrac{3}{x^2 - x}$.

a) Calcule su dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [3 puntos]

b) Calcule una primitiva cualquiera de $f(x)$. [4 puntos]

c) Calcule el área delimitada por la gráfica de la función $y = f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = 2$ y $x = 3$. [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule su dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [3 puntos]}$

El dominio lo marcan los ceros del denominador.

$x^2-x=0\Rightarrow x(x-1)=0\Rightarrow x=0,\ x=1$

$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{0,1\}$

Derivamos con la regla del cociente para estudiar la monotonía:

$f'(x)=\dfrac{-3(2x-1)}{(x^2-x)^2}=\dfrac{3(1-2x)}{(x^2-x)^2}$

El denominador es un cuadrado, luego es positivo en todo el dominio, y el signo de la derivada lo marca el numerador:

$3(1-2x)>0\Leftrightarrow x<\dfrac{1}{2}$



La función es creciente en $(-\infty,0)\cup\left(0,\frac{1}{2}\right)$ y decreciente en $\left(\frac{1}{2},1\right)\cup(1,+\infty)$, con un máximo relativo en $x=\frac{1}{2}$, donde vale $f\left(\frac{1}{2}\right)=-12$.

$\textbf{b) Calcule una primitiva cualquiera de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [4 puntos]}$

Es una función racional con el denominador factorizado en raíces simples, así que la descomponemos en fracciones simples.

$\dfrac{3}{x(x-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}$

$3=A(x-1)+Bx$

$x=0\Rightarrow 3=-A\Rightarrow A=-3$

$x=1\Rightarrow 3=B$

$\int f(x)\,dx=\int\dfrac{-3}{x}\,dx+\int\dfrac{3}{x-1}\,dx=-3\ln|x|+3\ln|x-1|+C$

Una primitiva es, por tanto, $F(x)=3\ln\left|\dfrac{x-1}{x}\right|$.

$\textbf{c) Calcule el área delimitada por la gráfica de la función } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{, el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ y las rectas } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 3}\textbf{. [3 puntos]}$

Comprobamos primero el signo en el intervalo, que además no contiene ninguno de los dos puntos que quedan fuera del dominio.

$2\le x\le 3\Rightarrow x^2-x\ge 2>0\Rightarrow f(x)>0$

El área es, pues, la integral definida sin partirla.

$\mathcal{A}=\int_{2}^{3}\dfrac{3}{x^2-x}\,dx=\left[3\ln\left|\dfrac{x-1}{x}\right|\right]_{2}^{3}$

$\mathcal{A}=3\ln\dfrac{2}{3}-3\ln\dfrac{1}{2}=3\left(\ln\dfrac{2}{3}-\ln\dfrac{1}{2}\right)=3\ln\dfrac{4}{3}$

$\mathcal{A}=3\ln\dfrac{4}{3}\approx 0{,}863$

El área pedida es $3\ln\frac{4}{3}\approx 0{,}86$ unidades de área.