Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una empresa tiene tres minas: $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ y $\mathbf{C}$, y en cada una, el mineral extraído contiene los elementos químicos níquel (Ni), cobre (Cu) y hierro (Fe), en diferente concentración. Las concentraciones son:

Mina $\mathbf{A}$: Ni (1 %), Cu (2 %), Fe (3 %).

Mina $\mathbf{B}$: Ni (2 %), Cu (5 %), Fe (7 %).

Mina $\mathbf{C}$: Ni (1 %), Cu (3 %), Fe (1 %).

Para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro en total, ¿cuántas toneladas de mineral se han de extraer de cada mina?

a) Plantee un sistema de ecuaciones que interprete el enunciado. [4 puntos]

b) Clasifique el sistema. [2 puntos]

c) Resuelva el sistema. [4 puntos]

Llamamos $x$, $y$ y $z$ a las toneladas de mineral extraídas de las minas $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ y $\mathbf{C}$ respectivamente.

$\textbf{a) Plantee un sistema de ecuaciones que interprete el enunciado. [4 puntos]}$

Cada elemento químico da una ecuación: la suma de lo que aporta cada mina ha de ser la cantidad total pedida. Las concentraciones se escriben en tanto por uno.

$\begin{cases}0{,}01x+0{,}02y+0{,}01z=7\\ 0{,}02x+0{,}05y+0{,}03z=18\\ 0{,}03x+0{,}07y+0{,}01z=16\end{cases}$

Multiplicando las tres ecuaciones por 100 desaparecen los decimales:

$\begin{cases}x+2y+z=700\\ 2x+5y+3z=1800\\ 3x+7y+z=1600\end{cases}$

$\textbf{b) Clasifique el sistema. [2 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$|A|=\begin{vmatrix}1&2&1\\ 2&5&3\\ 3&7&1\end{vmatrix}=1(5-21)-2(2-9)+1(14-15)$

$|A|=-16+14-1=-3\neq 0$

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado: tiene una única solución.

$\textbf{c) Resuelva el sistema. [4 puntos]}$

Resolvemos por reducción. Despejamos $x$ de la primera ecuación y lo llevamos a las otras dos.

$x=700-2y-z$

$2(700-2y-z)+5y+3z=1800\Rightarrow 1400+y+z=1800\Rightarrow y+z=400$

$3(700-2y-z)+7y+z=1600\Rightarrow 2100+y-2z=1600\Rightarrow y-2z=-500$

Restando la segunda de la primera:

$3z=900\Rightarrow z=300$

$y=400-300=100,\qquad x=700-200-300=200$

Comprobamos en la ecuación del hierro:

$0{,}03\cdot 200+0{,}07\cdot 100+0{,}01\cdot 300=6+7+3=16$

Hay que extraer 200 toneladas de mineral de la mina $\mathbf{A}$, 100 de la $\mathbf{B}$ y 300 de la $\mathbf{C}$.