Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

El número de horas de vida de una cierta bacteria (tipo A) se distribuye según una normal de media 110 horas y desviación típica de 0,75 horas. Calcule la probabilidad de que, escogiendo al azar una bacteria:

a) su número de horas de vida sobrepase las 112,25 horas. [4 puntos]

b) su número de horas de vida sea inferior a 109,25 horas. [4 puntos]

c) De otra bacteria (tipo B) se sabe que el número de horas de vida se distribuye según una normal de media 110 horas, pero se desconoce su desviación típica. Experimentalmente se ha comprobado que la probabilidad de que una bacteria tipo B viva más de 125 horas es 0,1587. Calcule la desviación típica de la distribución del número de horas de vida de las bacterias tipo B. [2 puntos]

Llamamos $X$ al número de horas de vida de una bacteria de tipo A.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(110;\ 0{,}75)$

$\textbf{a) su número de horas de vida sobrepase las 112,25 horas. [4 puntos]}$

Tipificamos el valor y pasamos al complementario, porque la tabla da probabilidades acumuladas por la izquierda.

$Z=\dfrac{X-110}{0{,}75}\sim N(0,1)$

$P(X>112{,}25)=P\left(Z>\dfrac{112{,}25-110}{0{,}75}\right)=P(Z>3)$

$P(Z>3)=1-\Phi(3)=1-0{,}9987=0{,}0013$

La probabilidad de que una bacteria de tipo A viva más de 112,25 horas es $0{,}0013$.

$\textbf{b) su número de horas de vida sea inferior a 109,25 horas. [4 puntos]}$

Procedemos igual, pero ahora el valor tipificado sale negativo y hay que usar la simetría de la campana.

$P(X<109{,}25)=P\left(Z<\dfrac{109{,}25-110}{0{,}75}\right)=P(Z<-1)$

$P(Z<-1)=1-\Phi(1)=1-0{,}8413=0{,}1587$

La probabilidad de que una bacteria de tipo A viva menos de 109,25 horas es $0{,}1587$.



$\textbf{c) De otra bacteria (tipo B) se sabe que el número de horas de vida se distribuye según una normal de media 110 horas, pero se desconoce su desviación típica. Experimentalmente se ha comprobado que la probabilidad de que una bacteria tipo B viva más de 125 horas es 0,1587. Calcule la desviación típica de la distribución del número de horas de vida de las bacterias tipo B. [2 puntos]}$

Es el problema inverso: se conoce la probabilidad y se busca el parámetro. Llamamos $Y\sim N(110;\ \sigma)$ y tipificamos dejando $\sigma$ como incógnita.

$P(Y>125)=0{,}1587\Rightarrow P(Y<125)=1-0{,}1587=0{,}8413$

$\Phi\left(\dfrac{125-110}{\sigma}\right)=0{,}8413$

En la tabla, $\Phi(1)=0{,}8413$, que es justamente el valor que apareció en el apartado b):

$\dfrac{15}{\sigma}=1\Rightarrow \sigma=15$

La desviación típica de las bacterias de tipo B es de $15$ horas: viven de media lo mismo que las de tipo A, pero con una dispersión veinte veces mayor.