Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Considere el punto $P = (2, -1, 1)$ y la recta $r$ dada por

$r \equiv \left.\begin{array}{r} 2x - 3y + 4z - 1 = 0 \\ x + 2y - 3z - 2 = 0 \end{array}\right\}$

a) Calcule la expresión de la ecuación continua de la recta $r$. [2 puntos]

b) Calcule la ecuación del plano $\Pi$, perpendicular a la recta $r$, que pasa por el punto $P$. [2 puntos]

c) Calcule el punto $Q$ de intersección del plano $\Pi$ con la recta $r$. [3 puntos]

d) De todas las rectas que pasan por el punto $P = (2, -1, 1)$, calcule aquella que corta perpendicularmente a la recta $r$. [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule la expresión de la ecuación continua de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [2 puntos]}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, de modo que su vector director es perpendicular a los dos normales: el producto vectorial de ambos.

$\vec v_r=(2,-3,4)\times(1,2,-3)=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&-3&4\\1&2&-3\end{vmatrix}=(1,10,7)$

Para un punto damos, por ejemplo, $z=0$ y resolvemos el sistema que queda:

$\begin{cases}2x-3y=1\\ x+2y=2\end{cases}\Rightarrow x=2-2y\Rightarrow 2(2-2y)-3y=1\Rightarrow y=\dfrac{3}{7}$

$x=2-\dfrac{6}{7}=\dfrac{8}{7}\Rightarrow P_r\left(\dfrac{8}{7},\dfrac{3}{7},0\right)$

$r:\dfrac{x-\frac{8}{7}}{1}=\dfrac{y-\frac{3}{7}}{10}=\dfrac{z}{7}$

$\textbf{b) Calcule la ecuación del plano } \boldsymbol{\Pi}\textbf{, perpendicular a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{, que pasa por el punto } \boldsymbol{P}\textbf{. [2 puntos]}$

Un plano perpendicular a una recta tiene por vector normal el director de esa recta.

$\vec n_{\Pi}=(1,10,7)$

$1(x-2)+10(y+1)+7(z-1)=0$

$x-2+10y+10+7z-7=0\Rightarrow \Pi:x+10y+7z+1=0$

$\textbf{c) Calcule el punto } \boldsymbol{Q}\textbf{ de intersección del plano } \boldsymbol{\Pi}\textbf{ con la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [3 puntos]}$

Escribimos la recta en paramétricas y sustituimos en la ecuación del plano.

$r:\begin{cases}x=\frac{8}{7}+t\\ y=\frac{3}{7}+10t\\ z=7t\end{cases}$

$\left(\dfrac{8}{7}+t\right)+10\left(\dfrac{3}{7}+10t\right)+7(7t)+1=0$

$\dfrac{8}{7}+\dfrac{30}{7}+1+t+100t+49t=0$

$\dfrac{45}{7}+150t=0\Rightarrow t=-\dfrac{3}{70}$

$Q\left(\dfrac{8}{7}-\dfrac{3}{70},\ \dfrac{3}{7}-\dfrac{30}{70},\ -\dfrac{21}{70}\right)=\left(\dfrac{11}{10},\ 0,\ -\dfrac{3}{10}\right)$



$\textbf{d) De todas las rectas que pasan por el punto } \boldsymbol{P = (2, -1, 1)}\textbf{, calcule aquella que corta perpendicularmente a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [3 puntos]}$

La recta buscada es precisamente la que une $P$ con $Q$: pasa por $P$, corta a $r$ en $Q$ y está contenida en el plano $\Pi$, que es perpendicular a $r$. Todo eso lo garantiza la construcción de los apartados anteriores.

$\overrightarrow{PQ}=\left(\dfrac{11}{10},0,-\dfrac{3}{10}\right)-(2,-1,1)=\left(-\dfrac{9}{10},\ 1,\ -\dfrac{13}{10}\right)$

Multiplicando por 10, que no cambia la dirección:

$\vec v_s=(-9,10,-13)$

Comprobamos la perpendicularidad con el director de $r$:

$(-9,10,-13)\cdot(1,10,7)=-9+100-91=0$

$s:\begin{cases}x=2-9\lambda\\ y=-1+10\lambda\\ z=1-13\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

La recta pedida es la que pasa por $P(2,-1,1)$ con vector director $(-9,10,-13)$.