Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por

$y = f(x) = x^3 - 3x.$

a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = -1$. [2 puntos]

b) Haga un esbozo de la gráfica de $y = f(x)$ y calcule: los puntos de corte con los ejes, los extremos relativos y el comportamiento de la función en el infinito. [4 puntos]

c) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función dada y la recta $y = 2$. [4 puntos]

$\textbf{a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = -1}\textbf{. [2 puntos]}$

La pendiente de la tangente es el valor de la derivada en ese punto, y el punto de tangencia se obtiene evaluando la función.

$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$

$f'(x)=3x^2-3\Rightarrow f'(-1)=3-3=0$

La pendiente es nula, de modo que la tangente es una recta horizontal:

$y-2=0\,(x+1)\Rightarrow y=2$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=-1$ es $y=2$.

$\textbf{b) Haga un esbozo de la gráfica de } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ y calcule: los puntos de corte con los ejes, los extremos relativos y el comportamiento de la función en el infinito. [4 puntos]}$

Reunimos los elementos que determinan la curva. Cortes con los ejes:

$x^3-3x=0\Rightarrow x(x^2-3)=0\Rightarrow x=0,\ x=\pm\sqrt{3}$

de modo que corta al eje de abscisas en $(-\sqrt{3},0)$, $(0,0)$ y $(\sqrt{3},0)$, y al de ordenadas en el origen.

Extremos relativos:

$f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

$f''(x)=6x\Rightarrow f''(-1)=-6<0,\qquad f''(1)=6>0$

Hay un máximo relativo en $(-1,2)$ y un mínimo relativo en $(1,-2)$.

Comportamiento en el infinito:

$\lim_{x\to -\infty}\left(x^3-3x\right)=-\infty,\qquad \lim_{x\to +\infty}\left(x^3-3x\right)=+\infty$



$\textbf{c) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función dada y la recta } \boldsymbol{y = 2}\textbf{. [4 puntos]}$

Los límites de integración son las abscisas de los cortes entre la curva y la recta.

$x^3-3x=2\Rightarrow x^3-3x-2=0$

$x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2)=0\Rightarrow \begin{cases}x=-1\ \text{(doble)}\\ x=2\end{cases}$

La raíz doble en $x=-1$ era previsible: ahí la recta es tangente a la curva, según el apartado a). Entre $-1$ y $2$ la recta va por encima, como se ve en el esbozo, así que integramos la diferencia en ese orden.

$\mathcal{A}=\int_{-1}^{2}\left[2-\left(x^3-3x\right)\right]dx=\int_{-1}^{2}\left(2-x^3+3x\right)dx$

$\mathcal{A}=\left[2x-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{3x^2}{2}\right]_{-1}^{2}$

$\mathcal{A}=\left(4-4+6\right)-\left(-2-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2}\right)=6-\left(-\dfrac{3}{4}\right)$

$\mathcal{A}=\dfrac{27}{4}=6{,}75$

El área del recinto es $\dfrac{27}{4}=6{,}75$ unidades de área.