Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{cases} x + y = 1, \\ ax + z = 0, \\ x + (1 + a)y + az = a + 1, \end{cases}$

determine el parámetro $a$, y resuelva siempre que se pueda, de manera que el sistema:

a) tenga solución única. [4 puntos]

b) tenga infinitas soluciones. [4 puntos]

c) no tenga solución. [2 puntos]

Antes de separar los tres casos discutimos el sistema con el teorema de Rouché-Frobenius, calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\ a&0&1\\ 1&1+a&a\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&1\\ a&0&1&0\\ 1&1+a&a&a+1\end{array}\right)$

$|A|=1\left[0-(1+a)\right]-1\left(a^2-1\right)+0=-1-a-a^2+1$

$|A|=-a-a^2=-a(a+1)$

$|A|=0\Rightarrow a=0\ \text{o}\ a=-1$

$\textbf{a) tenga solución única. [4 puntos]}$

El sistema tiene solución única cuando es compatible determinado, y para eso basta que el determinante no se anule.

Si $a\neq 0$ y $a\neq -1$:

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

Resolvemos por sustitución. De la primera ecuación, $y=1-x$, y de la segunda, $z=-ax$. Sustituyendo en la tercera:

$x+(1+a)(1-x)+a(-ax)=a+1$

$x+1+a-x-ax-a^2x=a+1$

$-ax-a^2x=0\Rightarrow -a(1+a)\,x=0$

Como $-a(1+a)\neq 0$, resulta $x=0$, y de ahí $y=1$ y $z=0$.

El sistema tiene solución única para todo $a$ distinto de $0$ y de $-1$, y esa solución es $(x,y,z)=(0,1,0)$, la misma sea cual sea el parámetro.

$\textbf{b) tenga infinitas soluciones. [4 puntos]}$

Hay que estudiar por separado los dos valores que anulan el determinante.

Si $a=0$:

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&1\\ 0&0&1&0\\ 1&1&0&1\end{array}\right)$

La tercera fila es igual a la primera, también en el término independiente, de modo que sobra. Con las dos primeras:

$\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=2<3$

El sistema es compatible indeterminado. Tomando $y=\lambda$:

$(x,y,z)=(1-\lambda,\ \lambda,\ 0),\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Si $a=-1$:

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&1\\ -1&0&1&0\\ 1&0&-1&0\end{array}\right)$

Ahora la tercera fila es la opuesta de la segunda, término independiente incluido, así que también sobra. Con las dos primeras:

$\begin{vmatrix}1&1\\-1&0\end{vmatrix}=1\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=2<3$

De nuevo compatible indeterminado. Tomando $z=\mu$, de la segunda ecuación $x=\mu$ y de la primera $y=1-\mu$:

$(x,y,z)=(\mu,\ 1-\mu,\ \mu),\quad \mu\in\mathbb{R}$

El sistema tiene infinitas soluciones para $a=0$ y para $a=-1$, con las expresiones anteriores.

$\textbf{c) no tenga solución. [2 puntos]}$

Un sistema no tiene solución cuando el rango de la matriz de coeficientes es menor que el de la ampliada, lo que solo puede ocurrir si el determinante se anula, es decir, para $a=0$ o $a=-1$. Pero en el apartado anterior hemos visto que en esos dos casos los dos rangos valen 2 y coinciden.

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})\quad \forall a\in\mathbb{R}$

No existe ningún valor de $a$ para el que el sistema no tenga solución: es compatible para todo valor del parámetro.