Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

La altura de las personas de una clase se distribuye según una normal de media 160 cm y desviación típica 10 cm. Calcule la probabilidad de que, escogida al azar una persona de la clase, su altura:

a) sobrepase los 170 cm. [3 puntos]

b) sea menor que 155 cm. [3 puntos]

c) esté comprendida entre 155 cm y 170 cm. [4 puntos]

Llamamos $X$ a la altura de una persona de la clase, en centímetros.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(160;\ 10)$

$\textbf{a) sobrepase los 170 cm. [3 puntos]}$

Tipificamos el valor 170 y pasamos al complementario, porque la tabla da probabilidades acumuladas por la izquierda.

$Z=\dfrac{X-160}{10}\sim N(0,1)$

$P(X>170)=P\left(Z>\dfrac{170-160}{10}\right)=P(Z>1)$

$P(Z>1)=1-\Phi(1)=1-0{,}8413=0{,}1587$

La probabilidad de que una persona sobrepase los 170 cm es $0{,}1587$.

$\textbf{b) sea menor que 155 cm. [3 puntos]}$

Tipificamos y usamos la simetría de la campana, ya que el valor tipificado sale negativo.

$P(X<155)=P\left(Z<\dfrac{155-160}{10}\right)=P(Z<-0{,}5)$

$P(Z<-0{,}5)=1-\Phi(0{,}5)=1-0{,}6915=0{,}3085$

La probabilidad de que una persona mida menos de 155 cm es $0{,}3085$.

$\textbf{c) esté comprendida entre 155 cm y 170 cm. [4 puntos]}$

El intervalo pedido es justamente lo que queda al quitar las dos colas anteriores, de modo que podemos aprovechar los dos resultados.

$P(155<X<170)=P(-0{,}5<Z<1)=\Phi(1)-\Phi(-0{,}5)$

$=0{,}8413-0{,}3085=0{,}5328$

La probabilidad de que la altura esté comprendida entre 155 y 170 cm es $0{,}5328$, es decir, algo más de la mitad de la clase.