Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dados los puntos

$P = (1, 0, 1), \qquad Q = (1, 1, 0), \qquad R = (0, 1, 1).$

a) Compruebe que $P$, $Q$ y $R$ no están alineados. [2 puntos]

b) Calcule la ecuación vectorial del plano que determinan $P$, $Q$ y $R$. [3 puntos]

c) Calcule el área del triángulo que tiene por vértices $P$, $Q$ y $R$. [3 puntos]

d) Calcule, de forma razonada, la condición que han de cumplir $a$, $b$ y $c$ para que los puntos $P$, $Q$, $R$ y $S = (a, b, c)$ pertenezcan a un mismo plano. [2 puntos]

$\textbf{a) Compruebe que } \boldsymbol{P}\textbf{, } \boldsymbol{Q}\textbf{ y } \boldsymbol{R}\textbf{ no están alineados. [2 puntos]}$

Tres puntos están alineados cuando los vectores que los unen son proporcionales, así que basta comprobar que no lo son.

$\overrightarrow{PQ}=(1,1,0)-(1,0,1)=(0,1,-1)$

$\overrightarrow{PR}=(0,1,1)-(1,0,1)=(-1,1,0)$

La primera componente de $\overrightarrow{PQ}$ es nula y la de $\overrightarrow{PR}$ no, de modo que no puede haber ninguna constante que transforme uno en otro.

Los tres puntos no están alineados y, por tanto, determinan un único plano.

$\textbf{b) Calcule la ecuación vectorial del plano que determinan } \boldsymbol{P}\textbf{, } \boldsymbol{Q}\textbf{ y } \boldsymbol{R}\textbf{. [3 puntos]}$

La ecuación vectorial de un plano se escribe con un punto de paso y los dos vectores directores que acabamos de obtener.

$\pi:(x,y,z)=(1,0,1)+s\,(0,1,-1)+t\,(-1,1,0),\quad s,t\in\mathbb{R}$

$\textbf{c) Calcule el área del triángulo que tiene por vértices } \boldsymbol{P}\textbf{, } \boldsymbol{Q}\textbf{ y } \boldsymbol{R}\textbf{. [3 puntos]}$

El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

$\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\0&1&-1\\-1&1&0\end{vmatrix}=(1,1,1)$

$|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$

$\mathcal{A}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866$

El área del triángulo es $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87$ unidades de área.



$\textbf{d) Calcule, de forma razonada, la condición que han de cumplir } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ para que los puntos } \boldsymbol{P}\textbf{, } \boldsymbol{Q}\textbf{, } \boldsymbol{R}\textbf{ y } \boldsymbol{S = (a, b, c)}\textbf{ pertenezcan a un mismo plano. [2 puntos]}$

Los tres primeros ya determinan un plano, así que la condición es simplemente que $S$ pertenezca a él. Escribimos ese plano en forma general con el vector normal del apartado anterior.

$\vec n=(1,1,1)$

$1(x-1)+1(y-0)+1(z-1)=0\Rightarrow \pi:x+y+z-2=0$

Imponiendo que $S(a,b,c)$ lo verifique:

$a+b+c-2=0$

La condición pedida es $a+b+c=2$.