Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dadas las rectas

$\text{(I)} \begin{cases} y = x + 3, \\ z = 2x + 2, \end{cases} \qquad \text{(II)} \begin{cases} y = -\dfrac{1}{2}, \\ x = 2z + 3, \end{cases}$

a) Calcule la ecuación vectorial de cada una de las rectas (I) y (II). [1 punto]

b) Si es posible, calcule el plano paralelo a la recta (II) que contiene a la recta (I). [3 puntos]

c) Calcule el plano perpendicular a la recta (II) que pasa por el punto $(-1, 0, 2)$. [3 puntos]

d) Calcule la recta de dirección perpendicular a las de las rectas (I) y (II) que pasa por el origen. [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule la ecuación vectorial de cada una de las rectas (I) y (II). [1 punto]}$

Cada recta viene dada por dos ecuaciones que expresan dos de las coordenadas en función de la tercera, de modo que basta tomar esa tercera como parámetro.

Para (I) tomamos $x=t$:

$\text{(I)}:\ (x,y,z)=(t,\ t+3,\ 2t+2)=(0,3,2)+t\,(1,1,2)$

Para (II) tomamos $z=s$:

$\text{(II)}:\ (x,y,z)=\left(2s+3,\ -\dfrac{1}{2},\ s\right)=\left(3,-\dfrac{1}{2},0\right)+s\,(2,0,1)$

$\textbf{b) Si es posible, calcule el plano paralelo a la recta (II) que contiene a la recta (I). [3 puntos]}$

El plano ha de tener las dos direcciones: la de (I), porque la contiene, y la de (II), porque le es paralelo. Su vector normal es el producto vectorial de ambas.

$\vec n=(1,1,2)\times(2,0,1)=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&2\\2&0&1\end{vmatrix}=(1,3,-2)$

Pasa por el punto $(0,3,2)$ de la recta (I):

$x+3y-2z+D=0\Rightarrow 0+9-4+D=0\Rightarrow D=-5$

$\pi:x+3y-2z-5=0$

Comprobamos que la recta (II) no está contenida en él, que es lo que distingue el paralelismo de la inclusión. Con su punto $\left(3,-\frac{1}{2},0\right)$:

$3-\dfrac{3}{2}-0-5=-\dfrac{7}{2}\neq 0$

Sí es posible: el plano pedido es $\pi:x+3y-2z-5=0$.



$\textbf{c) Calcule el plano perpendicular a la recta (II) que pasa por el punto } \boldsymbol{(-1, 0, 2)}\textbf{. [3 puntos]}$

Un plano perpendicular a una recta tiene por vector normal el director de esa recta.

$\vec n=(2,0,1)$

$2(x+1)+0(y-0)+1(z-2)=0$

$2x+2+z-2=0\Rightarrow \sigma:2x+z=0$

$\textbf{d) Calcule la recta de dirección perpendicular a las de las rectas (I) y (II) que pasa por el origen. [3 puntos]}$

Un vector perpendicular a los dos directores es su producto vectorial, que ya calculamos en el apartado b).

$\vec v=(1,1,2)\times(2,0,1)=(1,3,-2)$

Con ese vector y el origen:

$r:\begin{cases}x=\lambda\\ y=3\lambda\\ z=-2\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

o, en forma continua, $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{-2}$.