Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2021

El número de individuos de una población en un determinado instante de tiempo, $t$, expresado en millones de individuos, viene dado por la función

$P(t) = \dfrac{15 + t^2}{(t + 1)^2},$

donde la variable real $t \ge 0$ mide el número de años transcurridos desde el 1 de enero del año 2000.

a) Calcule la población que había el 1 de enero del año 2000. [2 puntos]

b) Pruebe que el número de individuos de la población alcanza un mínimo. ¿En qué año se alcanza ese mínimo? ¿Cuántos individuos habrá en el año del mínimo? [4 puntos]

c) Calcule el tamaño de la población, esto es, el número de individuos, que habrá a largo plazo. [4 puntos]

$\textbf{a) Calcule la población que había el 1 de enero del año 2000. [2 puntos]}$

El 1 de enero de 2000 corresponde a $t=0$, así que basta sustituir.

$P(0)=\dfrac{15+0^2}{(0+1)^2}=\dfrac{15}{1}=15$

El 1 de enero del año 2000 había 15 millones de individuos.

$\textbf{b) Pruebe que el número de individuos de la población alcanza un mínimo. ¿En qué año se alcanza ese mínimo? ¿Cuántos individuos habrá en el año del mínimo? [4 puntos]}$

Buscamos los puntos que anulan la derivada. La calculamos con la regla del cociente y simplificamos el factor $(t+1)$ común.

$P'(t)=\dfrac{2t(t+1)^2-(15+t^2)\cdot 2(t+1)}{(t+1)^4}=\dfrac{2t(t+1)-2(15+t^2)}{(t+1)^3}$

$P'(t)=\dfrac{2t^2+2t-30-2t^2}{(t+1)^3}=\dfrac{2t-30}{(t+1)^3}$

$P'(t)=0\Rightarrow 2t-30=0\Rightarrow t=15$

Como $t\ge 0$, el denominador $(t+1)^3$ es siempre positivo y el signo lo marca el numerador: negativo antes de $t=15$ y positivo después.



La función pasa de decreciente a creciente, luego en $t=15$ hay un mínimo relativo que, por ser el único, es también absoluto.

$P(15)=\dfrac{15+225}{16^2}=\dfrac{240}{256}=\dfrac{15}{16}=0{,}9375$

El mínimo se alcanza en el año 2015 y en ese momento hay $0{,}9375$ millones de individuos, es decir, 937 500.

$\textbf{c) Calcule el tamaño de la población, esto es, el número de individuos, que habrá a largo plazo. [4 puntos]}$

A largo plazo hay que calcular el límite en el infinito. Es un cociente de polinomios del mismo grado, de modo que el límite es el cociente de los coeficientes principales.

$\lim_{t\to +\infty}\dfrac{15+t^2}{(t+1)^2}=\lim_{t\to +\infty}\dfrac{t^2+15}{t^2+2t+1}=1$

A largo plazo la población tiende a 1 millón de individuos: tras caer hasta el mínimo de 2015, se recupera y se estabiliza en torno a esa cifra sin llegar a superarla.