Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

Una compañía aérea ha observado que los pesos de las maletas de un determinado trayecto siguen una distribución normal de media 7,5 kg y desviación típica de 0,4 kg. Calcule la probabilidad de que, escogida una maleta al azar:

a) pese menos de 7,2 kg pero más de 7 kg. [4 puntos]

b) pese entre 7,8 kg y 8 kg. [3 puntos]

c) Si en un trayecto hay 90 maletas, ¿cuántas maletas es de esperar que pesen al menos 8,1 kg? [3 puntos]

Llamamos $X$ al peso de una maleta, en kilogramos.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(7{,}5;\ 0{,}4)$

$\textbf{a) pese menos de 7,2 kg pero más de 7 kg. [4 puntos]}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo para poder usar la tabla de la normal.

$Z=\dfrac{X-7{,}5}{0{,}4}\sim N(0,1)$

$P(7<X<7{,}2)=P\left(\dfrac{7-7{,}5}{0{,}4}<Z<\dfrac{7{,}2-7{,}5}{0{,}4}\right)=P(-1{,}25<Z<-0{,}75)$

Los dos valores son negativos, así que llevamos el intervalo al semieje positivo usando la simetría de la campana:

$P(-1{,}25<Z<-0{,}75)=P(0{,}75<Z<1{,}25)=\Phi(1{,}25)-\Phi(0{,}75)$

$=0{,}8944-0{,}7734=0{,}1210$

La probabilidad de que una maleta pese entre 7 y 7,2 kg es $0{,}1210$.



$\textbf{b) pese entre 7,8 kg y 8 kg. [3 puntos]}$

Procedemos igual, tipificando los dos extremos.

$P(7{,}8<X<8)=P\left(\dfrac{7{,}8-7{,}5}{0{,}4}<Z<\dfrac{8-7{,}5}{0{,}4}\right)=P(0{,}75<Z<1{,}25)$

$=\Phi(1{,}25)-\Phi(0{,}75)=0{,}8944-0{,}7734=0{,}1210$

La probabilidad es $0{,}1210$, la misma que en el apartado anterior: los dos intervalos son simétricos respecto de la media, y la campana también lo es.

$\textbf{c) Si en un trayecto hay 90 maletas, ¿cuántas maletas es de esperar que pesen al menos 8,1 kg? [3 puntos]}$

Calculamos primero la probabilidad de que una maleta supere ese peso y después la multiplicamos por el número de maletas.

$P(X\ge 8{,}1)=P\left(Z\ge\dfrac{8{,}1-7{,}5}{0{,}4}\right)=P(Z\ge 1{,}5)$

$P(Z\ge 1{,}5)=1-\Phi(1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668$

$90\cdot 0{,}0668=6{,}012$

Es de esperar que unas 6 maletas de las 90 pesen al menos 8,1 kg.