Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

Se dispone de dos urnas: $U_1$ y $U_2$.

En $U_1$ hay 4 bolas rojas y 5 bolas negras.

En $U_2$ hay 6 bolas rojas y 3 bolas negras.

Al azar se saca una bola de $U_1$ y se introduce en $U_2$; a continuación se extrae al azar una bola de $U_2$. Calcule la probabilidad de que:

a) salga una bola roja de $U_2$. [3 puntos]

b) la bola extraída de $U_1$ sea negra, sabiendo que la bola que ha salido de $U_2$ también ha sido negra. [3 puntos]

c) salga al menos una bola roja. [4 puntos]

Nombramos los sucesos según la bola que sale en cada extracción:

$R_1,\ N_1\equiv$ la bola extraída de $U_1$ es roja o negra

$R_2,\ N_2\equiv$ la bola extraída de $U_2$ es roja o negra

En $U_1$ hay 9 bolas, 4 rojas y 5 negras. La bola que sale de ahí se añade a $U_2$, que pasa a tener 10, y su color cambia la composición de la segunda urna: eso es lo que hace que el experimento tenga dos etapas dependientes.



$\textbf{a) salga una bola roja de } \boldsymbol{U_2}\textbf{. [3 puntos]}$

El suceso se alcanza por dos caminos del árbol, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(R_2)=P(R_1)P(R_2|R_1)+P(N_1)P(R_2|N_1)$

$P(R_2)=\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{7}{10}+\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{6}{10}=\dfrac{28}{90}+\dfrac{30}{90}$

$P(R_2)=\dfrac{58}{90}=\dfrac{29}{45}\approx 0{,}6444$

La probabilidad de que salga una bola roja de $U_2$ es $\dfrac{29}{45}\approx 0{,}64$.

$\textbf{b) la bola extraída de } \boldsymbol{U_1}\textbf{ sea negra, sabiendo que la bola que ha salido de } \boldsymbol{U_2}\textbf{ también ha sido negra. [3 puntos]}$

Se pide invertir el condicionamiento, de modo que aplicamos el teorema de Bayes. La probabilidad de que la segunda bola sea negra es la complementaria de la anterior.

$P(N_2)=1-P(R_2)=1-\dfrac{29}{45}=\dfrac{16}{45}$

$P(N_1|N_2)=\dfrac{P(N_1)P(N_2|N_1)}{P(N_2)}=\dfrac{\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{4}{10}}{\dfrac{16}{45}}=\dfrac{\dfrac{2}{9}}{\dfrac{16}{45}}$

$P(N_1|N_2)=\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{45}{16}=\dfrac{5}{8}=0{,}625$

Sabiendo que la bola extraída de $U_2$ ha sido negra, la probabilidad de que la que salió de $U_1$ también lo fuera es $\dfrac{5}{8}=0{,}625$.

$\textbf{c) salga al menos una bola roja. [4 puntos]}$

«Al menos una roja» es el contrario de «ninguna roja», es decir, de que las dos bolas sean negras, que es una sola rama del árbol.

$P(\text{al menos una roja})=1-P(N_1\cap N_2)=1-\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{4}{10}$

$=1-\dfrac{20}{90}=1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{7}{9}\approx 0{,}7778$

La probabilidad de que salga al menos una bola roja es $\dfrac{7}{9}\approx 0{,}78$.