Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dadas las rectas

$r : \dfrac{x - m}{-1} = \dfrac{y + 10}{4} = \dfrac{z + 3}{1}, \qquad s : \begin{cases} x = 1, \\ y = 6 + 4\lambda, \\ z = -1 + 2\lambda. \end{cases}$

a) Calcule el valor de $m$ para que se corten en un punto. [7 puntos]

b) Calcule el punto de corte. [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule el valor de } \boldsymbol{m}\textbf{ para que se corten en un punto. [7 puntos]}$

De cada recta leemos un punto y un vector director: de la primera, en su ecuación continua; de la segunda, en sus paramétricas.

$P_r(m,-10,-3),\qquad \vec v_r=(-1,4,1)$

$P_s(1,6,-1),\qquad \vec v_s=(0,4,2)$

Los directores no son proporcionales, ya que la primera componente de $\vec v_s$ es nula y la de $\vec v_r$ no, de modo que las rectas o se cortan o se cruzan. Se cortan cuando los tres vectores $\vec v_r$, $\vec v_s$ y $\overrightarrow{P_rP_s}$ son coplanarios, es decir, cuando su producto mixto se anula.

$\overrightarrow{P_rP_s}=(1,6,-1)-(m,-10,-3)=(1-m,16,2)$

$\begin{vmatrix}-1&4&1\\ 0&4&2\\ 1-m&16&2\end{vmatrix}=0$

Desarrollamos por la primera columna:

$-1\begin{vmatrix}4&2\\16&2\end{vmatrix}+(1-m)\begin{vmatrix}4&1\\4&2\end{vmatrix}=0$

$-1(8-32)+(1-m)(8-4)=0$

$24+4-4m=0\Rightarrow 28-4m=0\Rightarrow m=7$

Las rectas se cortan en un punto únicamente para $m=7$.



$\textbf{b) Calcule el punto de corte. [3 puntos]}$

Con $m=7$ escribimos las dos rectas en paramétricas e igualamos coordenada a coordenada.

$r:\begin{cases}x=7-t\\ y=-10+4t\\ z=-3+t\end{cases},\qquad s:\begin{cases}x=1\\ y=6+4\lambda\\ z=-1+2\lambda\end{cases}$

De la primera coordenada:

$7-t=1\Rightarrow t=6$

Llevamos ese valor a la recta $r$:

$y=-10+24=14,\qquad z=-3+6=3$

Comprobamos que ese punto también es de $s$:

$6+4\lambda=14\Rightarrow \lambda=2\Rightarrow z=-1+4=3$

Las dos rectas se cortan en el punto $(1,14,3)$.