Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Considere los puntos

$A = (5, a, 7), \qquad B = (3, -1, 7), \qquad C = (6, 5, 4).$

a) Determine el valor del parámetro $a$ para el cual los puntos $A$, $B$ y $C$ forman un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en el punto $B$. [3 puntos]

b) Para el valor de $a = -2$, calcule el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$. [3 puntos]

c) Para el valor de $a = 5$, calcule el ángulo formado por los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. [4 puntos]

$\textbf{a) Determine el valor del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para el cual los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{ forman un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en el punto } \boldsymbol{B}\textbf{. [3 puntos]}$

Que el ángulo recto esté en $B$ significa que los dos lados que salen de ese vértice son perpendiculares, es decir, que su producto escalar se anula.

$\overrightarrow{BA}=(5,a,7)-(3,-1,7)=(2,a+1,0)$

$\overrightarrow{BC}=(6,5,4)-(3,-1,7)=(3,6,-3)$

$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=6+6(a+1)+0=6a+12$

$6a+12=0\Rightarrow a=-2$

El triángulo es rectángulo en $B$ únicamente para $a=-2$.



$\textbf{b) Para el valor de } \boldsymbol{a = -2}\textbf{, calcule el área del triángulo de vértices } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{. [3 puntos]}$

El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

$A(5,-2,7),\qquad \overrightarrow{AB}=(-2,1,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(1,7,-3)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-2&1&0\\1&7&-3\end{vmatrix}=(-3,-6,-15)$

$|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{9+36+225}=\sqrt{270}=3\sqrt{30}$

$\mathcal{A}=\dfrac{3\sqrt{30}}{2}\approx 8{,}22$

El área del triángulo es $\dfrac{3\sqrt{30}}{2}\approx 8{,}22$ unidades de área.

$\textbf{c) Para el valor de } \boldsymbol{a = 5}\textbf{, calcule el ángulo formado por los vectores } \boldsymbol{\overrightarrow{AB}}\textbf{ y } \boldsymbol{\overrightarrow{AC}}\textbf{. [4 puntos]}$

Usamos la expresión del producto escalar en función del ángulo.

$A(5,5,7),\qquad \overrightarrow{AB}=(-2,-6,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(1,0,-3)$

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-2+0+0=-2$

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10},\qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$

$\cos\alpha=\dfrac{-2}{2\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}=\dfrac{-2}{20}=-0{,}1$

$\alpha=\arccos(-0{,}1)\approx 95{,}74^{\circ}$

El ángulo que forman los dos vectores es de unos $95{,}74^{\circ}$; al ser el coseno negativo, se trata de un ángulo obtuso.