Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Considere la función

$f(x) = \dfrac{1}{x^4}.$

a) Represéntela gráficamente. [7 puntos]

b) Compruebe que $f(2) = f(-2)$. [1 punto]

c) Compruebe que no existe $c \in [-2, 2]$ tal que $f'(c) = 0$. [1 punto]

d) ¿Hay una contradicción con la conclusión del teorema de Rolle? [1 punto]

$\textbf{a) Represéntela gráficamente. [7 puntos]}$

Reunimos los rasgos que determinan la curva. El denominador se anula solo en el origen:

$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{0\}$

La función es par y siempre positiva, porque $x^4>0$ para todo $x\neq 0$:

$f(-x)=\dfrac{1}{(-x)^4}=\dfrac{1}{x^4}=f(x)$

de modo que la gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas. Estudiamos las asíntotas:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^4}=+\infty\Rightarrow x=0\ \text{es asíntota vertical}$

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x^4}=0\Rightarrow y=0\ \text{es asíntota horizontal}$

Y la monotonía:

$f'(x)=-4x^{-5}=\dfrac{-4}{x^5}$

que es positiva para $x<0$ y negativa para $x>0$: la función crece en $(-\infty,0)$ y decrece en $(0,+\infty)$. No hay cortes con los ejes, ya que $f(x)$ nunca se anula.



$\textbf{b) Compruebe que } \boldsymbol{f(2) = f(-2)}\textbf{. [1 punto]}$

Basta sustituir, o recordar que la función es par.

$f(2)=\dfrac{1}{2^4}=\dfrac{1}{16}$

$f(-2)=\dfrac{1}{(-2)^4}=\dfrac{1}{16}$

Los dos valores coinciden: $f(2)=f(-2)=\frac{1}{16}$.

$\textbf{c) Compruebe que no existe } \boldsymbol{c \in [-2, 2]}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f'(c) = 0}\textbf{. [1 punto]}$

Igualamos la derivada a cero.

$f'(x)=\dfrac{-4}{x^5}=0$

Una fracción solo se anula cuando lo hace su numerador, y aquí vale la constante $-4$, de modo que la ecuación no tiene solución. Además, en $x=0$ la derivada ni siquiera existe.

No hay ningún $c\in[-2,2]$ con $f'(c)=0$.

$\textbf{d) ¿Hay una contradicción con la conclusión del teorema de Rolle? [1 punto]}$

El teorema de Rolle exige tres hipótesis: que la función sea continua en el intervalo cerrado, derivable en el abierto y que tome el mismo valor en los extremos. La tercera se cumple, según el apartado b), pero las otras dos no: en $x=0$, que es un punto interior de $[-2,2]$, la función ni siquiera está definida, y ahí tiene una asíntota vertical.

No hay contradicción alguna. Al fallar las hipótesis, el teorema no puede aplicarse y su conclusión no tiene por qué darse.