Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dados los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(0, 0, -2)$, $C(2, -1, 0)$, $D(-1, 2, -1)$ y $E(0, 0, 0)$.

a) Compruebe que los puntos $A$, $B$ y $C$ determinan un único plano, $\pi$. [2 puntos]

b) Averigüe si el triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ es rectángulo en el vértice $A$. [3 puntos]

c) Encuentre el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos $A$ y $D$ con el plano $\pi$. [3 puntos]

d) Calcule el volumen del tetraedro definido por los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$. [2 puntos]

$\textbf{a) Compruebe que los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{ determinan un único plano, } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [2 puntos]}$

Tres puntos determinan un único plano cuando no están alineados, es decir, cuando los vectores que los unen no son proporcionales.

$\overrightarrow{AB}=(0,0,-2)-(1,1,1)=(-1,-1,-3)$

$\overrightarrow{AC}=(2,-1,0)-(1,1,1)=(1,-2,-1)$

$\dfrac{-1}{1}=-1,\qquad \dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}$

Los cocientes no coinciden, luego los vectores no son proporcionales y los tres puntos determinan un único plano. Lo escribimos, porque hará falta después:

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-1&-1&-3\\1&-2&-1\end{vmatrix}=(-5,-4,3)$

$\pi:5x+4y-3z+D=0\Rightarrow 5+4-3+D=0\Rightarrow D=-6$

$\pi:5x+4y-3z-6=0$

$\textbf{b) Averigüe si el triángulo de vértices } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{ es rectángulo en el vértice } \boldsymbol{A}\textbf{. [3 puntos]}$

El ángulo en $A$ es recto si los dos lados que salen de él son perpendiculares, es decir, si su producto escalar se anula.

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)(1)+(-1)(-2)+(-3)(-1)=-1+2+3=4$

$4\neq 0$

No, el triángulo no es rectángulo en $A$: el producto escalar de los dos lados que concurren en ese vértice no se anula.

$\textbf{c) Encuentre el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{D}\textbf{ con el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [3 puntos]}$

El seno del ángulo que forman una recta y un plano se obtiene con el producto escalar del director de la recta y el normal del plano.

$\overrightarrow{AD}=(-1,2,-1)-(1,1,1)=(-2,1,-2)$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{|\overrightarrow{AD}\cdot\vec n|}{|\overrightarrow{AD}|\,|\vec n|}$

$\overrightarrow{AD}\cdot\vec n=(-2)(-5)+(1)(-4)+(-2)(3)=10-4-6=0$

$\operatorname{sen}\alpha=0\Rightarrow \alpha=0^{\circ}$

El ángulo es nulo: la recta $AD$ es paralela al plano y, como $A$ pertenece a él, está de hecho contenida en $\pi$. Se comprueba con el punto $D$:

$5(-1)+4\cdot 2-3(-1)-6=-5+8+3-6=0$



$\textbf{d) Calcule el volumen del tetraedro definido por los vectores } \boldsymbol{\vec{AB}}\textbf{, } \boldsymbol{\vec{AC}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{AD}}\textbf{. [2 puntos]}$

El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores.

$V=\dfrac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|=\dfrac{1}{6}\left|\begin{vmatrix}-1&-1&-3\\ 1&-2&-1\\ -2&1&-2\end{vmatrix}\right|$

$\begin{vmatrix}-1&-1&-3\\ 1&-2&-1\\ -2&1&-2\end{vmatrix}=-1(4+1)+1(-2-2)-3(1-4)=-5-4+9=0$

$V=\dfrac{1}{6}\cdot 0=0$

El volumen es nulo. Era de esperar por el apartado anterior: $D$ pertenece al plano de $A$, $B$ y $C$, de modo que los cuatro puntos son coplanarios y el tetraedro degenera en una figura plana, sin volumen.