Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Sea $a$ un parámetro real. Considere el plano $\pi \equiv 3x - 2y - z = 4$, el punto $P(1, 1, 0)$ y la recta

$r \equiv \begin{cases} x - y = 0, \\ x - az = 1. \end{cases}$

En cada caso, si existe, obtenga el valor del parámetro $a$ para el cual:

a) el punto $P$ pertenece a la recta $r$. [1 punto]

b) la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un único punto. [3 puntos]

c) la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$. [3 puntos]

d) la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$. [3 puntos]

Antes de discutir nada conviene tener un punto y un vector director de la recta. Al venir dada como intersección de dos planos, el director es el producto vectorial de sus normales.

$\vec v_r=(1,-1,0)\times(1,0,-a)=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-1&0\\1&0&-a\end{vmatrix}=(a,a,1)$

$\vec n_{\pi}=(3,-2,-1)$



$\textbf{a) el punto } \boldsymbol{P}\textbf{ pertenece a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

Sustituimos las coordenadas de $P(1,1,0)$ en las dos ecuaciones de la recta.

$x-y=1-1=0$

$x-az=1-a\cdot 0=1$

Las dos se cumplen y el parámetro desaparece de la segunda, porque va multiplicado por $z=0$. El punto $P$ pertenece a la recta $r$ para cualquier valor de $a$, no solo para uno concreto.

$\textbf{b) la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ se cortan en un único punto. [3 puntos]}$

Una recta y un plano se cortan en un único punto cuando el director de la recta no es perpendicular al normal del plano, es decir, cuando su producto escalar no se anula.

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=3a-2a-1=a-1$

$a-1\neq 0\Rightarrow a\neq 1$

La recta y el plano se cortan en un único punto para cualquier valor de $a$ distinto de 1.

$\textbf{c) la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ está contenida en el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [3 puntos]}$

Hacen falta dos condiciones: que el director sea perpendicular al normal, lo que por el apartado anterior obliga a $a=1$, y que algún punto de la recta pertenezca al plano.

$P(1,1,0)\in r\ \ \forall a$

$3\cdot 1-2\cdot 1-0=1\neq 4$

El punto $P$ no pertenece al plano, y como está en la recta sea cual sea $a$, la recta nunca puede estar contenida en él. No existe ningún valor de $a$ que cumpla la condición; para $a=1$ la recta es paralela al plano y no lo toca.

$\textbf{d) la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [3 puntos]}$

La perpendicularidad exige que el director de la recta sea paralelo al normal del plano, o sea, que sus componentes sean proporcionales.

$(a,a,1)=k\,(3,-2,-1)$

De las dos primeras componentes, $a=3k$ y $a=-2k$, de donde $3k=-2k\Rightarrow k=0$ y por tanto $a=0$. Pero entonces la tercera componente daría

$1=-k=0$

que es imposible. No existe ningún valor de $a$ para el cual la recta sea perpendicular al plano.