Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2022

Sea la función $f(x) = 1 - \sqrt[3]{x^2}$.

a) Calcule el dominio y los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes. [2 puntos]

b) Calcule la derivada de la función y obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [2 puntos]

c) Compruebe que $f(-1) = f(1)$ y que $f'(x)$ no es nunca cero en el intervalo $[-1, 1]$. ¿Contradice este hecho el teorema de Rolle? [3 puntos]

d) Haga un esbozo de la gráfica de la función $y = f(x)$. [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule el dominio y los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes. [2 puntos]}$

La raíz cúbica está definida para cualquier número real, y el radicando $x^2$ también, de modo que no hay ninguna restricción.

$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}$

Corte con el eje de ordenadas:

$f(0)=1-\sqrt[3]{0}=1\Rightarrow (0,1)$

Cortes con el eje de abscisas:

$1-\sqrt[3]{x^2}=0\Rightarrow \sqrt[3]{x^2}=1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

Los cortes con los ejes son $(0,1)$, $(-1,0)$ y $(1,0)$.

$\textbf{b) Calcule la derivada de la función y obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [2 puntos]}$

Escribimos la raíz como potencia de exponente fraccionario y derivamos.

$f(x)=1-x^{2/3}$

$f'(x)=-\dfrac{2}{3}x^{-1/3}=\dfrac{-2}{3\sqrt[3]{x}}$

La derivada no existe en $x=0$, porque ahí se anula el denominador, y no se anula en ningún punto, ya que el numerador es la constante $-2$. El signo lo da, pues, el denominador:

$x<0\Rightarrow \sqrt[3]{x}<0\Rightarrow f'(x)>0\qquad x>0\Rightarrow \sqrt[3]{x}>0\Rightarrow f'(x)<0$

La función crece en $(-\infty,0)$ y decrece en $(0,+\infty)$, con un máximo en $(0,1)$ que es un punto anguloso, no un punto de tangente horizontal.

$\textbf{c) Compruebe que } \boldsymbol{f(-1) = f(1)}\textbf{ y que } \boldsymbol{f'(x)}\textbf{ no es nunca cero en el intervalo } \boldsymbol{[-1, 1]}\textbf{. ¿Contradice este hecho el teorema de Rolle? [3 puntos]}$

$f(-1)=1-\sqrt[3]{(-1)^2}=1-1=0$

$f(1)=1-\sqrt[3]{1^2}=1-1=0$

Los dos valores coinciden. En cuanto a la derivada,

$f'(x)=\dfrac{-2}{3\sqrt[3]{x}}\neq 0\quad \forall x\neq 0$

porque una fracción solo se anula si lo hace su numerador, y aquí vale $-2$.

No hay contradicción con el teorema de Rolle. El teorema exige que la función sea continua en $[-1,1]$ y derivable en $(-1,1)$, y esta segunda hipótesis falla: en $x=0$, que es un punto interior del intervalo, la función no es derivable. Al no cumplirse las hipótesis, el teorema no garantiza nada y su conclusión puede perfectamente no darse.

$\textbf{d) Haga un esbozo de la gráfica de la función } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{. [3 puntos]}$

Reunimos lo obtenido: la curva pasa por los tres cortes con los ejes, crece hasta el origen y decrece a partir de él, y en $x=0$ presenta un pico. Además es simétrica respecto del eje de ordenadas, ya que

$f(-x)=1-\sqrt[3]{(-x)^2}=1-\sqrt[3]{x^2}=f(x)$

y sus dos ramas bajan indefinidamente:

$\lim_{x\to\pm\infty}\left(1-\sqrt[3]{x^2}\right)=-\infty$



El pico del origen es justamente lo que impide aplicar el teorema de Rolle en el apartado anterior.