Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 4x$ y $g(x) = 4 - 4x$.

a) Represéntelas gráficamente en un mismo sistema de coordenadas. [5 puntos]

b) Calcule los puntos de corte de ambas gráficas. [2 puntos]

c) Calcule el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones. [3 puntos]

$\textbf{a) Represéntelas gráficamente en un mismo sistema de coordenadas. [5 puntos]}$

La primera es una parábola de ramas hacia arriba y la segunda, una recta, de modo que basta con unos pocos elementos de cada una.

$f(x)=x^2-4x=x(x-4)\Rightarrow \text{cortes con }OX:\ x=0,\ x=4$

$x_V=\dfrac{-(-4)}{2}=2\Rightarrow V(2,-4)$

$g(x)=4-4x\Rightarrow \text{corta a los ejes en }(0,4)\text{ y }(1,0)$



$\textbf{b) Calcule los puntos de corte de ambas gráficas. [2 puntos]}$

Igualamos las dos expresiones y resolvemos.

$x^2-4x=4-4x$

$x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

$x=-2\Rightarrow y=4-4(-2)=12;\qquad x=2\Rightarrow y=4-8=-4$

Las gráficas se cortan en los puntos $(-2,12)$ y $(2,-4)$.

$\textbf{c) Calcule el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones. [3 puntos]}$

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte. Para saber cuál de las dos va por encima evaluamos en un punto intermedio.

$\text{Si } x=0:\quad g(0)=4>f(0)=0$

La recta queda por encima de la parábola en todo el intervalo, de modo que integramos la diferencia en ese orden.

$\mathcal{A}=\int_{-2}^{2}\left[(4-4x)-(x^2-4x)\right]dx=\int_{-2}^{2}\left(4-x^2\right)dx$

$\mathcal{A}=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}=\left(8-\dfrac{8}{3}\right)-\left(-8+\dfrac{8}{3}\right)$

$\mathcal{A}=16-\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}\approx 10{,}67$

El área del recinto es $\dfrac{32}{3}\approx 10{,}67$ unidades de área.