Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

El tiempo de duración de las actualizaciones de un cierto programa antivirus sigue una distribución estadística normal de media 8,8 meses con una desviación típica de 3 meses.

a) ¿Qué porcentaje de las actualizaciones supera los 10 meses? [3 puntos]

b) ¿Qué porcentaje de las actualizaciones se ha mantenido entre 7 y 10 meses? [3 puntos]

c) ¿Para qué valor del parámetro $c$ se tiene que el intervalo $(8{,}8 - c,\ 8{,}8 + c)$ es el intervalo de tiempo de duración del 98 % de las actualizaciones? [4 puntos]

Llamamos $X$ al tiempo de duración de una actualización, en meses.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(8{,}8;\ 3)$

$\textbf{a) ¿Qué porcentaje de las actualizaciones supera los 10 meses? [3 puntos]}$

Tipificamos el valor 10 y pasamos al complementario, porque la tabla da probabilidades acumuladas por la izquierda.

$Z=\dfrac{X-8{,}8}{3}\sim N(0,1)$

$P(X>10)=P\left(Z>\dfrac{10-8{,}8}{3}\right)=P(Z>0{,}4)$

$P(Z>0{,}4)=1-\Phi(0{,}4)=1-0{,}6554=0{,}3446$

El $34{,}46\%$ de las actualizaciones supera los 10 meses.



$\textbf{b) ¿Qué porcentaje de las actualizaciones se ha mantenido entre 7 y 10 meses? [3 puntos]}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo y restamos las probabilidades acumuladas.

$P(7<X<10)=P\left(\dfrac{7-8{,}8}{3}<Z<\dfrac{10-8{,}8}{3}\right)=P(-0{,}6<Z<0{,}4)$

El extremo negativo se lleva al semieje positivo por la simetría de la campana:

$\Phi(-0{,}6)=1-\Phi(0{,}6)=1-0{,}7257=0{,}2743$

$P(-0{,}6<Z<0{,}4)=0{,}6554-0{,}2743=0{,}3811$

El $38{,}11\%$ de las actualizaciones ha durado entre 7 y 10 meses.

$\textbf{c) ¿Para qué valor del parámetro } \boldsymbol{c}\textbf{ se tiene que el intervalo } \boldsymbol{(8{,}8 - c,\ 8{,}8 + c)}\textbf{ es el intervalo de tiempo de duración del 98 \% de las actualizaciones? [4 puntos]}$

El intervalo está centrado en la media, de modo que al tipificar queda simétrico respecto del origen y podemos usar la simetría de la campana.

$P(8{,}8-c<X<8{,}8+c)=P\left(-\dfrac{c}{3}<Z<\dfrac{c}{3}\right)=0{,}98$

$2\,\Phi\!\left(\dfrac{c}{3}\right)-1=0{,}98\Rightarrow \Phi\!\left(\dfrac{c}{3}\right)=0{,}99$

Buscamos en la tabla el valor tipificado que deja acumulado $0{,}99$:

$\dfrac{c}{3}=2{,}33\Rightarrow c=6{,}99$

El valor del parámetro es $c=6{,}99$ meses: el $98\%$ de las actualizaciones dura entre 1,81 y 15,79 meses.