Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dadas las rectas

$r \equiv \begin{cases} x + y = 3, \\ 2x - z = 1, \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = -\lambda, \\ z = -4 - \lambda, \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}.$

a) Calcule una ecuación vectorial para la recta $r$. [2 puntos]

b) Calcule la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. [3 puntos]

c) Calcule la ecuación general del plano perpendicular a la recta $r$ que pasa por el punto $P(2, 0, -1)$. [2 puntos]

d) Calcule la ecuación general del plano paralelo a la recta $r$ que contiene a la recta $s$. [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule una ecuación vectorial para la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [2 puntos]}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, así que su vector director es perpendicular a los dos normales, es decir, su producto vectorial.

$\vec v_r=(1,1,0)\times(2,0,-1)=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&0\\2&0&-1\end{vmatrix}=(-1,1,-2)$

Para un punto damos un valor a una incógnita y resolvemos. Con $z=1$:

$2x-1=1\Rightarrow x=1;\qquad 1+y=3\Rightarrow y=2$

$P_r(1,2,1)$

$r:(x,y,z)=(1,2,1)+t\,(-1,1,-2),\quad t\in\mathbb{R}$

$\textbf{b) Calcule la posición relativa de las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [3 puntos]}$

De la recta $s$ leemos directamente su punto y su director en las paramétricas.

$P_s(1,0,-4),\qquad \vec v_s=(1,-1,-1)$

Comparamos los directores componente a componente para ver si son proporcionales:

$\dfrac{-1}{1}=-1,\qquad \dfrac{1}{-1}=-1,\qquad \dfrac{-2}{-1}=2$

Los dos primeros cocientes coinciden pero el tercero no, luego los directores no son proporcionales. Las rectas no son ni paralelas ni coincidentes. Para separar «se cortan» de «se cruzan» estudiamos si los tres vectores son coplanarios.

$\overrightarrow{P_rP_s}=(1,0,-4)-(1,2,1)=(0,-2,-5)$

$\begin{vmatrix}-1&1&-2\\ 1&-1&-1\\ 0&-2&-5\end{vmatrix}=-1(5-2)-1(-5-0)-2(-2-0)=-3+5+4=6\neq 0$

El determinante no se anula, de modo que los tres vectores no son coplanarios: las rectas $r$ y $s$ se cruzan.



$\textbf{c) Calcule la ecuación general del plano perpendicular a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ que pasa por el punto } \boldsymbol{P(2, 0, -1)}\textbf{. [2 puntos]}$

Un plano perpendicular a una recta tiene por vector normal el director de esa recta.

$\vec n=\vec v_r=(-1,1,-2)$

$-1(x-2)+1(y-0)-2(z+1)=0$

$-x+2+y-2z-2=0\Rightarrow -x+y-2z=0$

$\pi:x-y+2z=0$

$\textbf{d) Calcule la ecuación general del plano paralelo a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ que contiene a la recta } \boldsymbol{s}\textbf{. [3 puntos]}$

El plano ha de tener las dos direcciones: la de $s$, porque la contiene, y la de $r$, porque le es paralelo. Su normal es el producto vectorial de ambas, y pasa por un punto de $s$.

$\vec n=\vec v_s\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-1&-1\\-1&1&-2\end{vmatrix}=(3,3,0)$

Simplificando por 3, tomamos $(1,1,0)$ e imponemos que pase por $P_s(1,0,-4)$:

$x+y+D=0\Rightarrow 1+0+D=0\Rightarrow D=-1$

$\sigma:x+y-1=0$

Comprobamos que el plano no contiene a $r$, que es lo que distingue el paralelismo de la inclusión:

$P_r(1,2,1):\quad 1+2-1=2\neq 0$

El plano paralelo a $r$ que contiene a $s$ es $\sigma:x+y-1=0$.