Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Del paralelogramo (cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos) $ABCD$ se conocen los vértices consecutivos $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ y $C(4, 3, -2)$.

a) Calcule el coseno del ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. [2 puntos]

b) Calcule las coordenadas del punto medio, $M$, del segmento $AC$. [2 puntos]

c) Calcule las coordenadas del vértice $D$. [4 puntos]

d) Calcule el área del paralelogramo $ABCD$. [2 puntos]

$\textbf{a) Calcule el coseno del ángulo que forman los vectores } \boldsymbol{\overrightarrow{AB}}\textbf{ y } \boldsymbol{\overrightarrow{AC}}\textbf{. [2 puntos]}$

El coseno del ángulo que forman dos vectores se obtiene dividiendo su producto escalar entre el producto de sus módulos.

$\overrightarrow{AB}=(2,1,0)-(1,0,-1)=(1,1,1)$

$\overrightarrow{AC}=(4,3,-2)-(1,0,-1)=(3,3,-1)$

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3+3-1=5$

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3},\qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{9+9+1}=\sqrt{19}$

$\cos\alpha=\dfrac{5}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{19}}=\dfrac{5}{\sqrt{57}}\approx 0{,}6623$

El coseno del ángulo que forman los dos vectores es $\dfrac{5}{\sqrt{57}}\approx 0{,}66$, lo que corresponde a un ángulo de unos $48{,}5^{\circ}$.

$\textbf{b) Calcule las coordenadas del punto medio, } \boldsymbol{M}\textbf{, del segmento } \boldsymbol{AC}\textbf{. [2 puntos]}$

El punto medio de un segmento es la semisuma de los extremos, coordenada a coordenada.

$M=\dfrac{A+C}{2}=\left(\dfrac{1+4}{2},\ \dfrac{0+3}{2},\ \dfrac{-1-2}{2}\right)$

$M\left(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{3}{2},\ -\dfrac{3}{2}\right)$

$\textbf{c) Calcule las coordenadas del vértice } \boldsymbol{D}\textbf{. [4 puntos]}$

En un paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio, de modo que $M$, que ya es el punto medio de $AC$, tiene que serlo también de $BD$.

$M=\dfrac{B+D}{2}\Rightarrow D=2M-B$

$D=2\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{2}\right)-(2,1,0)=(5,3,-3)-(2,1,0)=(3,2,-3)$

Se llega al mismo resultado con los vectores: en el paralelogramo $ABCD$ los lados $AD$ y $BC$ son opuestos, así que $D=A+\overrightarrow{BC}=(1,0,-1)+(2,2,-2)=(3,2,-3)$.

El cuarto vértice es $D(3,2,-3)$.



$\textbf{d) Calcule el área del paralelogramo } \boldsymbol{ABCD}\textbf{. [2 puntos]}$

El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de dos lados concurrentes.

$\overrightarrow{AD}=(3,2,-3)-(1,0,-1)=(2,2,-2)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&1\\2&2&-2\end{vmatrix}=(-4,4,0)$

$\mathcal{A}=|(-4,4,0)|=\sqrt{16+16+0}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx 5{,}66$

El área del paralelogramo es $4\sqrt{2}\approx 5{,}66$ unidades de área.