Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la función

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + a}{2x - 4} & \text{si } x \le 0, \\[2mm] 10x^2 + x + b & \text{si } x > 0. \end{cases}$

a) Calcule la condición que han de cumplir los parámetros $a$ y $b$ para que la función $y = f(x)$ sea continua. [3 puntos]

b) Calcule $f'(x)$. [4 puntos]

c) Encuentre la condición y calcule los parámetros $a$ y $b$ para que la función $y = f(x)$ sea derivable. [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule la condición que han de cumplir los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ sea continua. [3 puntos]}$

Cada rama es continua donde está definida: la primera es un cociente de polinomios cuyo denominador solo se anula en $x=2$, que no pertenece a ese trozo, y la segunda es un polinomio. El único punto dudoso es el empalme $x=0$, donde imponemos que coincidan los límites laterales.

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\dfrac{0^2+a}{2\cdot 0-4}=\dfrac{a}{-4}=-\dfrac{a}{4}$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=10\cdot 0^2+0+b=b$

$f(0)=-\dfrac{a}{4}$

$-\dfrac{a}{4}=b\Rightarrow a=-4b$

La función es continua si y solo si los parámetros cumplen la relación $a=-4b$.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{f'(x)}\textbf{. [4 puntos]}$

Derivamos cada rama por separado. La primera, con la regla del cociente:

$f'(x)=\dfrac{2x(2x-4)-2(x^2+a)}{(2x-4)^2}=\dfrac{4x^2-8x-2x^2-2a}{(2x-4)^2}=\dfrac{2x^2-8x-2a}{(2x-4)^2}$

La segunda es un polinomio:

$f'(x)=20x+1$

$f'(x)=\begin{cases}\dfrac{2x^2-8x-2a}{(2x-4)^2} & \text{si } x<0\\[3mm] 20x+1 & \text{si } x>0\end{cases}$

En $x=0$ la derivada solo existirá si coinciden las dos derivadas laterales, que es justo lo que estudia el apartado siguiente.

$\textbf{c) Encuentre la condición y calcule los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ sea derivable. [3 puntos]}$

Para que sea derivable en $x=0$ tiene que ser antes continua, así que arrastramos la condición del apartado a) y añadimos la igualdad de las derivadas laterales.

$f'(0^-)=\dfrac{0-0-2a}{(-4)^2}=\dfrac{-2a}{16}=-\dfrac{a}{8}$

$f'(0^+)=20\cdot 0+1=1$

$-\dfrac{a}{8}=1\Rightarrow a=-8$

Llevamos ese valor a la condición de continuidad:

$a=-4b\Rightarrow -8=-4b\Rightarrow b=2$

La función es derivable únicamente para $a=-8$ y $b=2$, valores que cumplen a la vez las dos condiciones, la de continuidad y la de igualdad de las derivadas laterales.